Polynôme caractéristique
Bonjour à tous
soit $A$ la matrice de $M_5(\textbf{C})$ $$
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
$$ $\textbf{1°}$ Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
$\textbf{2°}$ Trouver une matrice $B$ semblable à $A$, de la forme $\quad
\displaystyle \begin{pmatrix} M_1 & 0 \\ 0 & M_2 \end{pmatrix} $
où $M_1$, $M_2$ sont deux matrices triangulaires.
...
Soit $P_A$ le polynôme caractéristique de $A$. On a : $\quad P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).$
\begin{equation}
\displaystyle A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} 1- \lambda & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1- \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -\lambda \end{pmatrix}
\end{equation}
On développe $\det(A-\lambda I)$ suivant la première colonne:
\begin{equation}
P_A(\lambda)=(1-\lambda)\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}
\end{equation}
On cherche alors à calculer les deux déterminants mineurs séparément. Pour le premier cela donne:
\begin{equation}
\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} =
\begin{vmatrix} -\lambda +1 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -\lambda & 1 \\ 1 + \lambda & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}
\end{equation}
Je ne comprends pas comment on passe de la première colonne du premier déterminant à la première colonne du deuxième déterminant.
1 a été rajouté à $-\lambda$ et $0$ (le dernier coefficient de la colonne) est devenu $1+\lambda$.
J'ai bien conscience qu'en vue d'un développement par rapport à la première colonne, on cherche à se débarrasser des deux coefficients (égaux à 1) du milieu. Mais comment y arrive-t-on sans modifier les autres colonnes ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
soit $A$ la matrice de $M_5(\textbf{C})$ $$
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
$$ $\textbf{1°}$ Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
$\textbf{2°}$ Trouver une matrice $B$ semblable à $A$, de la forme $\quad
\displaystyle \begin{pmatrix} M_1 & 0 \\ 0 & M_2 \end{pmatrix} $
où $M_1$, $M_2$ sont deux matrices triangulaires.
...
Soit $P_A$ le polynôme caractéristique de $A$. On a : $\quad P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).$
\begin{equation}
\displaystyle A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} 1- \lambda & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 1- \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & -\lambda \end{pmatrix}
\end{equation}
On développe $\det(A-\lambda I)$ suivant la première colonne:
\begin{equation}
P_A(\lambda)=(1-\lambda)\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}
\end{equation}
On cherche alors à calculer les deux déterminants mineurs séparément. Pour le premier cela donne:
\begin{equation}
\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -4 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} =
\begin{vmatrix} -\lambda +1 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -\lambda & 1 \\ 1 + \lambda & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}
\end{equation}
Je ne comprends pas comment on passe de la première colonne du premier déterminant à la première colonne du deuxième déterminant.
1 a été rajouté à $-\lambda$ et $0$ (le dernier coefficient de la colonne) est devenu $1+\lambda$.
J'ai bien conscience qu'en vue d'un développement par rapport à la première colonne, on cherche à se débarrasser des deux coefficients (égaux à 1) du milieu. Mais comment y arrive-t-on sans modifier les autres colonnes ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
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Réponses
Merci beaucoup...
je poursuis le calcul du premier déterminant:
\begin{equation}
\begin{vmatrix} -\lambda +1 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -\lambda & 1 \\ 1 + \lambda & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix}
\end{equation}
On développe par rapport à la première colonne:
\begin{equation}
\displaystyle (-\lambda +1)\begin{vmatrix}1-\lambda & 1 & 1 \\ 2 & -\lambda & 1 \\ -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} -(1+\lambda)\begin{vmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & -\lambda & 1 \end{vmatrix} \\
=(-\lambda +1)[\lambda(1-\lambda^2)+3-3\lambda-3(1-\lambda)+2(1+\lambda)]-(1+\lambda)[1-8 + \lambda(1-\lambda)+2+\lambda+4(1-\lambda)] \\
=(-\lambda+1)[\lambda(1-\lambda^2)+2(1+\lambda)]-(1+\lambda)[-1-2\lambda - \lambda^2] \\
\end{equation}
En développant $(1+\lambda)[-1-2\lambda - \lambda^2]$ et en arrangeant les signes on trouve bien $(1+\lambda)^3$.
Mais en transformant $(-\lambda+1)[\lambda(1-\lambda^2)+2(1+\lambda)]$ je suis supposé obtenir:
\begin{equation}
(1-\lambda)(1+\lambda)^2(-\lambda+2)
\end{equation}
J'ai remplacé $(1-\lambda^2)$ par $(1-\lambda)(1+\lambda)$ et factorisé le crochet mais je dois piteusement avouer que je n'arrive pas à faire apparaître $(1+\lambda)^2$.
Si quelqu'un voit où ça bloque, je l'en remercie d'avance.
...
Cordialement.
On peut donc écrire:
\begin{equation}
-\lambda^3+3\lambda+2=(\lambda-2)(a\lambda^2+b\lambda +c) \\ =(-1)(-\lambda +2)(a\lambda^2+b\lambda +c)=[(-1)(-a\lambda^3 -b\lambda^2 -\lambda c +2a\lambda^2 +2b\lambda+2c )].
\end{equation}
En identifiant les coefficients avec $-\lambda^3 + 3\lambda + 2$ on obtient $a=1, b=2, c=1$.
Donc:
\begin{equation}
(-\lambda+1)[\lambda (1-\lambda^2)+2(1+\lambda)]=(-1)(\lambda -1)[(-1)(-\lambda +2)(a\lambda^2+b\lambda +c)] \\ \\ = (-1)(-1) (1-\lambda)(-\lambda +2)(1+\lambda)^2
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \begin{vmatrix} -\lambda +1 & 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -\lambda & 1 \\ 1 + \lambda & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} =(1-\lambda)(1+\lambda)^2(-\lambda+2)+(1+\lambda)^3 \\
=(1+\lambda)^2[\lambda^2-2\lambda+3]
\end{equation}
On recommence tout pareil avec le deuxième déterminant (en n'oubliant pas cette fois de soustraire la dernière colonne de la première):
\begin{equation}
\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -\lambda & 1 \\ 1+\lambda & -3 & 3 & -1- \lambda \end{vmatrix} \\ 2[(1+\lambda)^2(-\lambda + 2)] - (1+\lambda)^2(3-\lambda) \\ =(1+\lambda)^2(-\lambda +1)
\end{equation}
Finalement, on en déduit que:
\begin{equation}
\displaystyle P_A(\lambda) = (1-\lambda)(1+\lambda)^2(\lambda^2-2\lambda + 3)-2(1+\lambda)^2(1-\lambda) \\ = \mathbf {(1+ \lambda )^2(1- \lambda )^3}.
\end{equation}
Les valeurs propres de $A$ sont: $-1$ avec ordre de multiplicité $2$ et $1$ avec ordre de multiplicité $3$.
Je rédigerai un corrigé de la deuxième question (le temps d'en assimiler toutes les subtilités...)
...