Ensemble semi-algébrique

En utilisant le théorème de Tarski-Seidenberg :

Si $A$ est un sous-ensemble semi-algébrique de $\mathbb{R}^{n+m}=\mathbb{R}^{n}\oplus \mathbb{R}^{m}$, alors la projection $A'$ de $A$ dans $\mathbb{R}^{m}$ est aussi semi-algébrique.

Je veux montrer ce résultat.
Soit $A \subset \mathbb R^n$ un ensemble non vide semi-algébrique, alors la fonction distance \begin{eqnarray*}dist(\cdot, A):R^n \to R,\;\;\;x \mapsto dist(x, A) = \inf\left\{\|x - y\| \;; y \in A\right\}\end{eqnarray*} est semi-algébrique.

Voici ce que j'ai écrit.
Le graphe de la fonction $dist(\cdot,A)$ est $$
\left\{(x,t)\in \mathbb{R}^{n+1}|\;t\ge 0\;\text{et}\;\forall y \in A,\;t^2\le \|x-y\|^2\;\text{et}\;\forall \epsilon\in\mathbb{R},\;\epsilon>0\Rightarrow \exists y\in A,\;t^2+\epsilon>\|x-y\|^2\right\}\;.
$$ Dans cette formule, $A$ est un ensemble semi-algébrique, $\|x-y\|^2$ est une fonction polynomiale

Je n'arrive pas à conclure. Merci de m'aider.