Matrices inversibles

poli12
poli12
dans Algèbre
Bonjour
Soit $E$ un sous espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de base $(v_1,\ldots,v_p)$. On pose $A$ la matrice ayant pour colonnes les $v_j,\ j=1,\ldots,p$ respectivement.
1) Montrer que pour tout $v\in \mathbb R^n$, $v\in E$ si et seulement si $\exists X\in \mathbb R^n$ (je pense que ca devrait plutôt être $X\in \mathbb R^p$) tel que $v=AX$.
2) Montrer que ${}^t\!AA$ est inversible (${\,}^t\!A$ est la transposée de la matrice $A$).
C'est surtout cette question qui me dérange un peu. Des indications me seront d'un grand avantages.
Merci

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    1) C'est bien $\mathbb R^p$.
    2) Indication : $A^{\mathsf T} A$ est définie positive (je note $A^{\mathsf T}$ la transposée de $A$).
  • poli12
    poli12
    Montrons que $A^TA$ est une matrice carrée symétrique.
    *Montrons que $A^TA$ est une matrice carrée.
    Puisque $A\in M_{n,p}(\mathbb R)$ alors $A^T\in M_{p,n}(\mathbb R)$ de sorte que $A^TA \in M_p(\mathbb R)$.
    *Montrons que $A^TA$ est symétrique.
    $(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$ d'où le résultat.
    Soient $X \in \mathbb R^p $. $X$ non nul. On a $X^TA^TAX=(AX)^T(AX)=||AX||_{2} ^2>0$ ($||.||_2$ est la norme euclidienne sur $\mathbb R^p$} ).
    Donc $A^TA$ est définie positive et donc inversible (bref positive et inversible).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu n'as pas démontré que $A^{\mathsf T}A$ est définie (positive) : pourquoi le $>0$ ?
  • poli12
    poli12
    si car j' ai pris X non nul et donc $||AX||_2>0$ car $A$ est non nul et $X$ aussi.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ho la la !!!! Réfléchis à la grosse bêtise que tu viens d'écrire et corrige-la !
  • poli12
    poli12
    On a $(AX)^T(AX)=(AX)^TI_p(AX)=Q(AX)$. Ou $Q(.)$ est la forme quadratique du produit scalaire sur E. donc $Q(AX)=0$ ssi $AX=0$ ce qui n'est vrai que si $X=0$ car sinon les $V_j$ ne seront pas libres.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ah, je préfère nettement ça. (Je l'écrirais un peu différemment).
  • poli12
    poli12
    Dernière question s'il vous plait indication pour déterminer les vecteurs propres de $M$. j'ai montrer que $M$ est la matrice de la projection orthogonale sur $E$, et donc $M^2=M$ ainsi le polynôme $X^2-X$ est un polynôme annulateur de $M$ et comme il est scindé on en déduit que M est diagonalisable et ses valeurs propres sont $0$ et $1$. Maintenant je n'arrive pas à déterminer les vecteurs propres de M.
  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour,

    qui est $M$ ?
    Le spectre d'un projecteur n'est pas toujours $\{0;1\}$.
    Si $P$ est un polynôme scindé annulateur de $M$, alors on ne peut pas en déduire que $$ est diagonalisable en toute généralité.

    Bien cordialement,
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qui est $M$ ?
    À part ça, rappel : le sous-espace propre pour $M$ associé à la valeur propre $\lambda$ est $\ker (M-\lambda I_n)$. Si $M$ est une matrice de projection ... je te laisse réfléchir.
  • poli12
    poli12
    Ah je m'excuse $M=A(A^TA)^{-1}A^T$.
  • poli12
    poli12
    Je pense que je devrais plutôt dire on constate que le polynôme minimal de $M$ est $X(X-1)$ et donc $M$ est diagonalisable le polynôme minimal est un produit de facteur simple. Et les valeurs propre de $M$ sont $0$ et $1$. Mais je ne trouve pas toujours le moyen de déterminer les vecteurs propres de $M$. Car sa matrice n'est pas sous une forme explicite. Merci
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je répète ma question, sous une forme légèrement différente.
    Quels sont les sous-espaces propres pour le projecteur orthogonal sur le sous-espace $E$ ?
  • poli12
    poli12
    $\ker(M)$ et $\ker(M-I_n)$. Voilà les sous espace propres.
  • poli12
    poli12
    $\ker(M-I_n)=\mathrm{im} (P) =E=\,<{v_j;\ j=1,2,\ldots,p}>$ et $\ker(p)$ est l'orthogonal de $E$.
  • poli12
    poli12
    Étant donné que je n'arrive pas à déterminer $E^{\bot}$ je fais appel au théorème de la base incomplète pour compléter la famille $(v_j)_{j=1,...,p}$ en une base $(v_j)_{j=1,...,n}$ de $\mathbb R^n$
    Par conséquent par unicité de l'orthogonal $E^{\bot}$ est engendré par $(v_j)_{j=p+1,...,n}$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les vecteurs par lesquels tu complètes sont orthogonaux à $E$ ?
  • poli12
    poli12
    Je ne sais pas mais puisque je n'arrivais pas à déterminer $E^\bot$ j'ai eu cette idée.
  • poli12
    poli12
    Je ne pense pas que c'est ainsi que je devrais m'y prendre mais je n'ai pas une autre idée.
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