Extensions galoisiennes

Bonjour à tous,
j'ouvre un fil parallèle à celui initié par Emilie770: $\textbf{corps cyclotomiques}$ afin de ne pas trop interférer.
Je ne sollicite rien de précis: je souhaite juste exprimer plus librement mes angoisses !
L'un d'elle concerne la base $(\zeta_p, \cdots, \zeta_p^{p-1})$ de $\textbf{L}:=\textbf{Q}(\zeta_p)/\textbf{(Q)}$.
Je me pose à moi-même, et avec la même insistance, la question du fil : pourquoi est-ce une base de $L$ ? La réponse à cette question passe par une bonne compréhension de $L$. Est-ce un anneau-quotient, un corps de rupture ? Pourquoi tout élément de cet ensemble s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des puissances $\zeta$ ? \begin{equation}
\displaystyle \alpha = c_0\zeta +c_1\zeta^2 + \cdots + c_{p-1} \zeta^{p-1}, \: \: c_i \in \textbf{Q}.
\end{equation} Peut-on alors définir $\textbf{L}$ comme étant $\textbf{Q}[\zeta]/(X^p-1)$ ? Difficile, surtout pour un amateur, de ne pas patauger dans le vocable galoisien. C'est l'une des difficultés de la théorie.
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Enfin je propose un exercice qui semble suivre à la trace la problématique soulevée par la discussion "Corps cyclotomiques".
Je réponds brièvement à la première question mais j'ai l'impression que c'est dans la deuxième que tout se joue avec l'entrée en lice d'un déterminant bien connu. J'y reviendrai bien sûr.

$\textbf{Problème}$
Soient $k$ un corps commutatif de caractéristique $p \neq 0$, d'élément-unité $e$, et $K$ une extension galoisienne de $k$ telle que le groupe de Galois $G=G_{K:k}$ soit cyclique d'ordre $p$. On désigne par $\sigma$ un générateur de $G$ et par $\xi$ un élément primitif de $K$.
$\textbf{1°}$ Montrer que les éléments $\xi_j=\sigma^j(\xi) \: \: (j=0,1,2, \dots, p-1)$ sont distincts.

$\textbf{2°}$ On pose, pour chaque entier $n$ tel que $1 \leq n \leq p-1$ : \begin{equation}
\displaystyle S_n = \xi_0^n + \xi_1^n + \dots + \xi_{p-1}^n.
\end{equation} $\textbf{3°}$ Montrer que les $S_n$ ne sont pas tous nuls, et que $\sigma(S_n)=S_n$.

$\textbf{Quelques indications}$
$\textbf{1°}$ Tout élément de $K$ est de la forme : \begin{equation}
\displaystyle \alpha= c_0+c_1\xi + ... +c_{p-1}\xi^{p-1}, \quad c_j \in k,
\end{equation} puisque $K$ est extension galoisienne de $k$ et que la dimension de $K$ comme espace vectoriel sur $k$ est $p$: $(K:k)=p$.

SI $\xi_j=\xi_j'$, pour $\displaystyle 0 \leq j\leq j' \leq p-1$, on a $\sigma^j(\xi)=\sigma^{j'}(\xi)$; d'où $\sigma^{j'-j}(\xi)=\xi$, donc, pour tout $\alpha \in K, \: \sigma^{j'-j}(\alpha)=\alpha$. On part de $\alpha$ et après $p$ tours ou un multiple de $p$ tours: on revient à $\alpha$.
La nature cyclique de $G$ et le fait qu'il soit d'ordre $p$ implique $j' \equiv j \pmod p$, c'est-à-dire $j'=j$.
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