Serre : Corps locaux, aide
Bonjour à tous,
Je lis Corps Locaux de Serre, et j'éprouve quelques difficultés à comprendre la "démonstration" (très vite expédiée) page 22, Proposition 5 : dans un anneau de Dedekind tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
La démo est la suivante :
Dans un anneau de valuation discrète, un idéal fractionnaire est de la forme $\pi^nA$, où $n \in \mathbb{Z} $, et est donc inversible. La proposition en résulte par localisation, compte tenu de :
$(\frak{ab})_{\frak{p}} = \frak{a_pb_p}$
$( \frak{a} + \frak{b})_\frak{p} = \frak{a}_{\frak{p}} + \frak{b}_{\frak{p}}$
$(\frak{a} : \frak{b})_{\frak{p}} = ( \frak{a}_{\frak{p}} : \frak{b}_{\frak{p}} )$
si $\frak{b} $ est de type fini.
Je comprends donc entre les lignes qu'il faut utiliser la proposition précédente, toujours sur la même page qui dit que si $A$ est un Dedekind, alors pour tout idéal premier $\frak{p}$ non nul, $A_\frak{p}$ est un anneau de valuation discrète. Mais même en m'aidant d'autres démonstrations plus détaillées, comme celle dans Théorie algébrique des nombres de Samuel, je n'arrive pas à démontré proprement cela, c'est-à-dire rédiger proprement le " la proposition en résulte par localisation ".
Tout ça reste flou et un peu d'aide pour démarrer cette démo serait bienvenue.
Merci d'avance
Je lis Corps Locaux de Serre, et j'éprouve quelques difficultés à comprendre la "démonstration" (très vite expédiée) page 22, Proposition 5 : dans un anneau de Dedekind tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
La démo est la suivante :
Dans un anneau de valuation discrète, un idéal fractionnaire est de la forme $\pi^nA$, où $n \in \mathbb{Z} $, et est donc inversible. La proposition en résulte par localisation, compte tenu de :
$(\frak{ab})_{\frak{p}} = \frak{a_pb_p}$
$( \frak{a} + \frak{b})_\frak{p} = \frak{a}_{\frak{p}} + \frak{b}_{\frak{p}}$
$(\frak{a} : \frak{b})_{\frak{p}} = ( \frak{a}_{\frak{p}} : \frak{b}_{\frak{p}} )$
si $\frak{b} $ est de type fini.
Je comprends donc entre les lignes qu'il faut utiliser la proposition précédente, toujours sur la même page qui dit que si $A$ est un Dedekind, alors pour tout idéal premier $\frak{p}$ non nul, $A_\frak{p}$ est un anneau de valuation discrète. Mais même en m'aidant d'autres démonstrations plus détaillées, comme celle dans Théorie algébrique des nombres de Samuel, je n'arrive pas à démontré proprement cela, c'est-à-dire rédiger proprement le " la proposition en résulte par localisation ".
Tout ça reste flou et un peu d'aide pour démarrer cette démo serait bienvenue.
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Réponses
Soit $I$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. PROPOSE d'abord un CANDIDAT pour l'inverse de $I$. Après, cela ira tout seul. Promis, juré.
Je suppose que le candidat c'est $(A : I) := \{ z \in \text{Frac}(A) \mid z I \subset A \}$.
Oui bien sûr. Note : je me méfie de la notation $(A : I)$ car ici, ``cela'' sort de l'anneau $A$. Bref, notons $I'$ ce candidat (c'est un idéal fractionnaire) ; il reste à voir que $II' = A$. Et en principe, il suffit d'utiliser les propriétés locales à notre disposition pour le voir. A vrai dire, je n'ai pas réfléchi plus que cela. De toutes façons, l'intéressé n'est plus là (il a dû terminer la lecture de Corps Locaux ?).
Oui c'est efficace, ça va tout seul comme tu dis !