Passer au quotient par un idéal $I$, c'est faire en sorte que les générateurs de $I$ vaillent $0$.
Voici une version plus simple de l'exercice : comprends-tu pourquoi $k[x]/(x)\simeq k$ ? On a un polynôme en $x$ et on impose que $x=0$ ; se donner un polynôme $P(x)$ et la relation $x=0$, c'est naturellement se donner le scalaire $P(0)$, non ? Il est donc naturel de considérer le morphisme $f:k[x]\to k$, $P\mapsto P(0)$. Plus précisément, on considère cette application et on montre que c'est un morphisme, puis on vérifie que $f$ est surjective et que son noyau est $\ker f=(x)$.
Variante : vois-tu comment montrer que $k[x]/(x-2)\simeq k$ ?
Dans ton cas, vois-tu d'où vient l'application de gai requin ?
Pour l'exemple de départ, attention, on n'est pas en train de résoudre une équation. Ce n'est pas parce que $y^2=0$ que l'on a $y=0$. En effet, pour faire une déduction comme ça, il faut une hypothèse que l'anneau dans lequel on se trouve est intègre et ce n'est pas le cas ici.
Oublions $x$ et plaçons-nous dans $K[y]/(y^2)$ pour l'instant. (Attention, il y a un abus de notation ici parce que le symbole $y$ désigne à la fois l'élément de $K[y]$ et sa classe dans le quotient $K[y]/(y^2)$. Dans le quotient $K[y]/(y^2)$, pourquoi est-ce que $y^2=0$ alors que $y\ne0$ ? Eh bien, parce que dans l'anneau $K[y]$, l'élément $y$ n'appartient pas à l'idéal engendré par $y^2$ : il n'est pas possible d'écrire $y$ comme produit de $y^2$ par un polynôme.
En fait, tout élément du quotient $K[y]/(y^2)$ s'écrit de façon unique sous la forme $a+by$ avec $a$ et $b$ dans le corps $K$. C'est une conséquence du théorème de division euclidienne.
Peut-être qu'il serait plus judicieux de lever (au moins provisoirement) l'ambiguïté de notations. On note $K[Y]$ l'anneau de polynômes et on note $A=K[Y]/(Y^2)$ le quotient. On note enfin $y=Y+(Y^2)$ la classe de $Y$ dans $A$ (l'image de $Y$ par la projection canonique). Dans $A$, on a $y^2=0$ mais $y\ne0$. Tout élément de $A$ s'écrit de façon unique sous la forme $a+by$ avec $a$ et $b$ dans le corps $K$. Si $P\in K[Y]$, on écrit la division de $P$ par $Y^2$ : $P(Y)=Y^2Q(Y)+R(Y)$ avec $\mathrm{deg}(R)\le2$, c'est-à-dire que $R(Y)$ est de la forme $R(Y)=a+bY$. Alors la classe de $P$ est $a+by$. Ceci prouve l'existence de l'écriture, saurais-tu prouver l'unicité ?
NB : comment peut-on penser $A$ ? On ne garde du polynôme $P\in K[Y]$ que $a=P(0)$ et $b=P'(0)$ : autrement dit, la classe de $P$ dans $A$ est essentiellement le développement limité de $P$ en $0$ à l'ordre $1$, c'est-à-dire à $O(Y^2)$ près... Pas si étonnant, finalement !
Une remarque qui peut être utile : pour tout polynôme $P(x,y)$ en deux variables, il existe un unique polynôme $Q(x,y)$ tel que $P(x,y)=x\,Q(x,y) + P(0,y)$. (Division par $x$, tout bêtement : pour tout anneau commutatif $A$ et tout $F\in A[x]$, il existe un unique polynôme $G$ tel que $F=x\, G+F(0)$).
Aparté : pour répondre à cette question, non, il n'y a pas de différence entre ces différentes notations pour la classe de $P(0,y)$ dans $k[y]/(y^2)$, à savoir $P(0,y)+(y^2)$ et $P(0,y)\ \mathrm{mod}\ y^2$.
Grâce à cette remarque de GaBuZoMeu : " pour tout polynôme P(x,y) en deux variables, il existe un unique polynôme Q(x,y) tel que P(x,y)=xQ(x,y)+P(0,y)",
j'ai puis démontrer que Ker F est égal à I.
Donc un grand merci M GaBuZoMeu. Et encore merci pour toute l'aide que vous avez déjà apporté.
Aussi un très grand merci à M Math Coss pour toutes ces explications que vous m'avez apporté.
Sans oublier bien sûr M gai requin merci beaucoup pour l'indication de départ sur l'exercice.
Réponses
Voici une version plus simple de l'exercice : comprends-tu pourquoi $k[x]/(x)\simeq k$ ? On a un polynôme en $x$ et on impose que $x=0$ ; se donner un polynôme $P(x)$ et la relation $x=0$, c'est naturellement se donner le scalaire $P(0)$, non ? Il est donc naturel de considérer le morphisme $f:k[x]\to k$, $P\mapsto P(0)$. Plus précisément, on considère cette application et on montre que c'est un morphisme, puis on vérifie que $f$ est surjective et que son noyau est $\ker f=(x)$.
Variante : vois-tu comment montrer que $k[x]/(x-2)\simeq k$ ?
Dans ton cas, vois-tu d'où vient l'application de gai requin ?
Pour l'exemple de départ, attention, on n'est pas en train de résoudre une équation. Ce n'est pas parce que $y^2=0$ que l'on a $y=0$. En effet, pour faire une déduction comme ça, il faut une hypothèse que l'anneau dans lequel on se trouve est intègre et ce n'est pas le cas ici.
Oublions $x$ et plaçons-nous dans $K[y]/(y^2)$ pour l'instant. (Attention, il y a un abus de notation ici parce que le symbole $y$ désigne à la fois l'élément de $K[y]$ et sa classe dans le quotient $K[y]/(y^2)$. Dans le quotient $K[y]/(y^2)$, pourquoi est-ce que $y^2=0$ alors que $y\ne0$ ? Eh bien, parce que dans l'anneau $K[y]$, l'élément $y$ n'appartient pas à l'idéal engendré par $y^2$ : il n'est pas possible d'écrire $y$ comme produit de $y^2$ par un polynôme.
En fait, tout élément du quotient $K[y]/(y^2)$ s'écrit de façon unique sous la forme $a+by$ avec $a$ et $b$ dans le corps $K$. C'est une conséquence du théorème de division euclidienne.
Peut-être qu'il serait plus judicieux de lever (au moins provisoirement) l'ambiguïté de notations. On note $K[Y]$ l'anneau de polynômes et on note $A=K[Y]/(Y^2)$ le quotient. On note enfin $y=Y+(Y^2)$ la classe de $Y$ dans $A$ (l'image de $Y$ par la projection canonique). Dans $A$, on a $y^2=0$ mais $y\ne0$. Tout élément de $A$ s'écrit de façon unique sous la forme $a+by$ avec $a$ et $b$ dans le corps $K$. Si $P\in K[Y]$, on écrit la division de $P$ par $Y^2$ : $P(Y)=Y^2Q(Y)+R(Y)$ avec $\mathrm{deg}(R)\le2$, c'est-à-dire que $R(Y)$ est de la forme $R(Y)=a+bY$. Alors la classe de $P$ est $a+by$. Ceci prouve l'existence de l'écriture, saurais-tu prouver l'unicité ?
NB : comment peut-on penser $A$ ? On ne garde du polynôme $P\in K[Y]$ que $a=P(0)$ et $b=P'(0)$ : autrement dit, la classe de $P$ dans $A$ est essentiellement le développement limité de $P$ en $0$ à l'ordre $1$, c'est-à-dire à $O(Y^2)$ près... Pas si étonnant, finalement !
Grâce à cette remarque de GaBuZoMeu : " pour tout polynôme P(x,y) en deux variables, il existe un unique polynôme Q(x,y) tel que P(x,y)=xQ(x,y)+P(0,y)",
j'ai puis démontrer que Ker F est égal à I.
Donc un grand merci M GaBuZoMeu. Et encore merci pour toute l'aide que vous avez déjà apporté.
Aussi un très grand merci à M Math Coss pour toutes ces explications que vous m'avez apporté.
Sans oublier bien sûr M gai requin merci beaucoup pour l'indication de départ sur l'exercice.