Espace vectoriel par transfert de structure

Gauss_wh · July 2018

Bonjour,

Dans le lemme ci-dessous, dont la démonstration ne pose pas de problème, je ne comprends pas ce que signifie la dernière phrase.

Par exemple pour $\forall (x,y,\lambda)\in F\times F\times \mathbb K, x+y=\varphi(\varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}(y))$, comment traduire cela sous forme de diagramme commutatif ? 77820

GaBuZoMeu · July 2018

$$\xymatrix{
E\times E \ar[d]^{+_E} \ar[r]_{\varphi\times \varphi} & G\times G \ar[d]^{+_G} \\
E \ar[r]_{\varphi} & G
}$$

Je te laisse faire l'autre diagramme.

Maxtimax · July 2018

$\xymatrix{ E\times E \ar[d]^{+} \ar[r]^{\varphi\times\varphi} & G\times G \ar[d]^{+} \\
E \ar[r]^\varphi & G}$
pour la première par exemple

edit: grillé par GBZM

Gauss_wh · July 2018

Merci, voilà pour l'autre :

$\xymatrix{

\mathbb K\times E \ar[d]^{._E} \ar[r]_{\Phi} & \mathbb K\times G \ar[d]^{._G} \\

E \ar[r]_{\varphi} & G

}$

avec $\Phi:(\lambda,x)\in\mathbb K\times E\mapsto (\lambda,\varphi(x))\in\mathbb K\times G$

Par contre, question naïve, ça sert à quoi ?

GaBuZoMeu · July 2018

Plutôt que $\Phi$, j'écrirais $\mathrm{Id}_{\mathbb K}\times \varphi$ dans le diagramme. C'est plus dans l'esprit de faire figurer toute l'information dans le diagramme.
Ça sert à faire joli. Plus sérieusement, il arrive qu'un diagramme commutatif soit plus lisible qu'un paquet de formules. Ça arrive d'autant plus qu'on a l'habitude des diagrammes commutatifs.

Gauss_wh · July 2018

Merci !

Math Coss · July 2018

Il y a une discipline olympique qui s'appelle diagram chasing.

Maxtimax · July 2018

Ça sert aussi à généraliser l'idée; dans des contextes où les éléments n'ont pas beaucoup de sens. Mais aussi ce que GBZM a dit : c'est beaucoup plus clair avec les diagrammes (quand on a l'habitude)

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