dimension

Tu parles de ce cardinal-là?

enfaite ? en fête ? amphets ?
Dimension de quoi ?
Qui ça, il ?

Cardinal : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cardinalité_(mathématiques)

Bijection : https://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection

Espace : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_(notion)
Bon, tu veux sûrement dire espace vectoriel...

On dit une topologie, sur un ensemble $X$, mais je pense que c'est hors programme pour toi. Pour répondre à ta question :

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\K$.

1) On appelle famille génératrice de $E$ toute famille $(x_i)_{i\in I}$ telle que pour tout $y \in E$, il existe une famille $(\lambda_i)_{i\in I}$ de scalaires (des éléments de $\K$) tels que \[y = \sum_{i\in I} \lambda_i x_i \]

2) On appelle famille libre de $E$ toute famille $(x_i)_{i\in I}$ vérifiant : \[ \sum_{i\in I} \lambda_i x_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \forall i \]

3) On appelle base de $E$ toute famille à la fois libre et génératrice.

4) On dit que $E$l est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Enfin, la réponse à ta question :

5) Théorème : Si $E$ est de dimension finie, toutes les bases de $E$ ont le même nombre $n$ d'éléments, on appelle l'entier $n$ la dimension de $E$.

@b.b, jusqu'à la dernière définition, je me place dans le cas général, donc les sommes ne sont pas nécessairement finies.

Ok je rectifie, je garde $I$ infini, mais je demande aux sommes d'être des combinaisons linéaires i.e presque tous les $\lambda_i$ sont nuls.