Suite au sujet dimension de ardoise

Boole et Bill
Boole et Bill
dans Algèbre
J'ouvre ce fil pour ne pas polluer celui d'ardoise. Après nos remarques sur les sommes infinies, je me suis posé des questions. Je me rappelle de mon cours de Hilbert/Fourier, dans lequel on parlait entre autres de bases Hilbertiennes. Si mes souvenirs sont bons, dans un espace de Hilbert, si $(u_n)_{n \in \N}$ est une base Hilbertienne, on peut écrire pour tout $x$ : \[ x = \sum_{n \in \N} \langle x | u_n \rangle u_n \] et qu'on doit même comprendre cela comme une convergence de série. Suite aux remarques sur les sommes finies, doit-on en conclure que les $\langle x | u_n \rangle$ sont presque tous nuls?

Réponses

  • Dom
    Dom
    J'y vois plutôt la notion de série convergente, non ?
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Justement, c'est là toute ma question : est ce qu'un base Hilbertienne est une base d'espace vectoriel? Car si oui, j'en conclut d'après les remarques sur le sujet d'ardoise que presque tous les produits scalaires sont nuls.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non; une base hilbertienne n'est pas une base.
    Mais souvent dans le cadre d'espaces vectoriels topologiques, les bases algébriques n'ont que peu d'intérêt.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    D'accord, des choses me paraissent plus claires, d'autres non. Encore d'après mes souvenirs, tout espace vectoriel admet une base. D'après ta remarque, dans le cadre des espaces de Hilbert, on se cogne de la base, seule la base hibertienne a un intérêt. Comment cela se fait-il? Du fait que chaque élément de la base hilbertienne peut s'exprimer comme combinaison linéaire d'éléments de la base algébrique, n'y a-t-il aucun lien entre les deux?
  • Sylvain
    Sylvain
    Au risque de dire des énormités, je dirais qu'une base algébrique a pour but de fournir une décomposition exacte d'un vecteur, quand les combinaisons linéaires d'éléments de la base hilbertienne adéquates donnent naissance à un objet ayant même norme que le vecteur considéré.
  • Poirot
    Poirot
    En général, les Hilbert qui nous intéresse sont de dimension infinie, typiquement l'espace $\ell^2$ des suites de complexes de carrés sommables. Dans ce cadre, donner explicitement une base relève de l'impossible. Par contre, on est très souvent confronté à une base hilbertienne plus ou moins canonique, et on peut tout de même faire tout un tas de choses avec comme tu l'as sûrement vu en cours.

    @Sylvain : tu dis une énormité, c'est quoi cette histoire de norme ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'espace hilbertien $\ell^2(\mathbb N)$ a une base hilbertienne facile à décrire. Tu la connais, je pense.
    Connais-tu une base (au sens algébrique) de cet espace ? Pourtant il en existe, dixit l'axiome du choix.

    PS. Je fais l'écho de Poirot.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    @GaBuZoMeu, les suites du type $(0,...,1,0,...)$? En effet je ne connais pas de base algébrique de cet espace.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Voila. Moi aussi, je serai bien en peine de décrire une base algébrique !
  • Sylvain
    Sylvain
    Mes souvenirs sont lointains (près de 14 ans) et il me semblait qu'on considérait des espaces normés dont la norme dérivait d'un produit scalaire. Bon, c'était en L3 physique hein...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Mais surtout (je ne suis pas convaincu par l'argument de la description) une base algébrique est totalement déconnectée de la topologie. Pour un Hilbert de dimension infinie une base n'a par exemple aucune raison d'être borélienne ou que sais-je. Un grand intérêt des Hilbert est qu'ils mêlent algèbre et topologie de manière interactive : les bases algébriques se fichent de cette interaction
  • Dom
    Dom
    Un lien vers une ancienne discussion : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,768205,770177
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