Composition des polynômes

Je suis en train d'étudier Toute l'Algèbre de la licence de JP Escofier et je butte sur le chapitre des polynômes, tout particulièrement concernant leur composition.

La composition des polynômes semble une opération naturelle; on a par exemple $P(X) = X^3$ et $Q(X) = X + 1$, alors $P(Q(X)) = (X + 1)^3$. C'est l'opération classique type $P \circ Q$.

Sauf que les polynômes ne sont pas définis comme des applications, mais comme les éléments d'une algèbre commutative unitaire (acu) sur un corps $\K$; avec $1, X, X^2, \ldots$ désignant les vecteurs d'une base, et non des puissances d'un bidule appelé $X$.

Vers la fin du chapitre, on nous dit que $\K[X]$ possède une propriété universelle: pour toute autre algèbre $A$ sur $\K$ et tout élément $a$ de $A$, il existe un unique morphisme d'acu $\phi: \K[X] \to A$ telle que $\phi(X) = a$. Le texte ne le dit pas, mais il apparaît ainsi que $\K[X]$ est simplement une acu libre sur un ensemble singleton.

Et au tout dernier paragraphe du chapitre, l'auteur définit la composition de polynômes sur la base de cette propriété universelle: pour obtenir le polynôme $P(Q(X))$, on considère l'unique morphisme d'acu $\gamma_Q$ de $\K[X]$ dans lui-même qui envoie $X$ sur $Q$; alors $P(Q(X)) = \gamma_Q(P)$. En réfléchissant bien, on arrive à voir que ça correspond bien à peu près à ce qu'on entend par composition de polynômes.

Mais ça s'arrête là. L'auteur se contente alors d'affirmer que le $P(Q(X))$ ainsi obtenu correspond à la fonction polynôme $p \circ q$, avec $p, q$ les fonctions polynôme correspondant à $P, Q$ respectivement. (Les fonctions polynôme étant elles-mêmes définies à partir de la propriété universelle, appliquée à la $\K$-acu des applications de $\K$ sur lui-même, en faisant $\phi(X) = $ l'identité de $\K$.)

Je ne vois pas comment on démontre ça.

Par ailleurs, l'auteur en réalité utilise la composition des polynômes plusieurs fois bien avant de l'avoir définie, comme s'il s'agissait d'une opération évidente. Et en particulier, après avoir défini la dérivation d'un polynôme simplement par son effet sur les vecteurs de base - $D(X^m) = m X^{m-1}$ - il considère comme évident que la dérivée par exemple de $(X + a)^m$ est $m (X + a)^{m-1}$, appliquant visiblement par automatisme la formule de dérivation connue sur les fonctions composées. Nulle part on n'a de démonstration de cette formule. (On peut la démontrer en développant $(X + a)^m$ par la formule du binôme, mais l'auteur ne le fait pas et c'est artificiel.)

Alors ma question est:

- Comment démontrer, dans ce cadre (celui d'une acu libre sur un singleton, avec la propriété universelle correspondante) que la fonction polynôme correspondant à une composition de polynômes est la composition des fonctions polynôme correspondantes?

- Comment démontrer que la dérivation appliquée à la composition des polynômes donne la formule habituelle; c'est-à-dire que $D(P \circ Q) = (D(P) \circ Q) D(Q)$?

Je n'arrive tout simplement pas à savoir par où commencer pour montrer ces deux résultats. J'ai l'impression qu'il y a quelque chose de plus profond qu'on nous le dit dans le livre à propos des polynômes, concernant la structure de monoïde qui résulte de leur composition; mais je n'arrive pas bien à gratter cette profondeur. J'ai l'impression en particulier que la définition de la dérivée de $X^m$ n'est pas simplement une formule arbitraire calquée artificiellement sur ce qu'on sait de la dérivée d'une fonction numérique $x \mapsto x^m$; c'est peut-être en fait la seule possibilité de définir $D$ linéaire $K[X] \to K[X]$ de manière à obtenir, justement, la formule $D(P \circ Q) = (D(P) \circ Q) D(Q)$. Mais c'est là juste une intuition.

Je vous remercie pour tout éclaircissement.