Une étrange petite équation...

Je vois une racine "évidente" à ce polynôme. On peut commencer par là, factoriser, puis continuer voir.
PS. Hum non finalement. Est tu sûr des degrés et des signes des coefficients ? Bon, si c'est juste un exemple inventé comme ça, aucune raison d'avoir des racines qu'on puisse, par exemple exprimer par radicaux (on est en degré cinq).
PPS. Avec les signes changés (en catimini), on retrouve bien une racine évidente !

Salut blueberry19,
Ce qu'il faut savoir au départ, c'est qu'on dispose de formules pour trouver les racines d'un polynôme de degré 2, 3 et 4.
A partir du degré 5, il n'est plus possible (cela a été démontré, c'est le théorème d'Abel si ça t'intéresse) d'avoir des formules "générales" (tout du moins, exprimable de manière pas très compliquée pour nous, mais le sens de "pas très compliquée" reste à préciser ... !) applicables dans tous les cas.

Dès lors, comme le dit GaBuZoMeu, comme un changement de variable ne semble pas judicieux, il faut trouver des racines "évidentes", et essayer de factoriser de manière à obtenir un polynôme de degré 4. Ensuite, soit on fait preuve d'ingéniosité et on essaye de factoriser à nouveau, soit on peut appliquer directement les formules dans le cas du degré 4.

Edit : je me suis laissé avoir par GaBuZoMeu ... ! D'ailleurs petite astuce pour trouver des racines évidentes : si tu cherches un entier, il doit diviser ton coefficient constant (c'est à dire 4) : donc ça te laisse 1,2 ou 4 (ainsi que -1, -2 et -4).

De toute évidence, 1 est racine double.

Mais du coup, c'est quoi les formules pour les équations de degré 4 s'il vous plaît ?

explicitement ça serai un peu long à écrire mais tu dois savoir le faire si tu sais le faire pour le degré trois et jouer avec l'équation de degré deux pour trouver les deux termes d'une somme et d'un produit

mais dans l'idée une fois que tu as re-écrit ton équation en remplaçant $az^4+bz^3+cz^2+dz+e=0$ par $(z-t)^4+p(z-t)^2+q(z-t)+r=0$

avec $t=\frac {-b}{4a}$
$p=\frac {c}{a}-\frac {3b^2}{8a^2}$
$q=\frac {d}{a}+\frac {b^3}{8a^3}-\frac {bc}{2a^2}$
$r=\frac {e}{a}+\frac {b^2c}{16a^3}-\frac {bd}{4a^2}-\frac {3b^4}{256a^4}$

À partir de là tu as tout un jeu d'écriture (et en dehors des cas particuliers $q=0$ et $r=0$)
tu te retrouve à écrire une équation de degré trois dont les racines (avec le jeu des sommes et produit du degré deux)
vont entrer dans les racines que tu recherche

je poste juste ça (mais c'est bien de savoir faire les choses soi même)

moi non plus je ne suis pas doué camarade Blueberry (j'ai quitté l'école à quinze ans franchement je ne devrai rien savoir faire normalement) mais bon à force on avance…

c'est mieux de ne pas tout dire ça te rendra service pour des trucs dans lesquels tu sera tout seul

bonjour
x^5-5x+4 = 0 racine évidente pour x=1 donc divisible par (x-1)

x^5-5x+4 = (x-1) (x^4 +x^3+x^2+x-4) (revoir cours division Polynômes par d'autres ...)


(x^4 +x^3+x^2+x-4) = 0 (revoir cours résolution équations 4° degré .)

conclusion : 4 racines ( 2 complexes ; 1 réel négatif ,et 1 entier )
soient :

x1 = 1
x2 = -0.174... + i 1.546...
x3 = -0.174... - i 1.546...
x4 = -1.650...

B.mohamed

Merci YvesM
( je vois mon erreur de calcul)

@blueberry19(2) : je trouve ça étrange que ça ne soit pas vu en prépa ECE cette notion !
Enfin, faisons un peu d'histoire.
Si l'on a voulu créer des ensembles de nombres de plus en plus grands, c'était notamment pour trouver des solutions à nos équations.
On se donne l'ensemble $\mathbb{N}$ (y a une construction axiomatique des entiers naturels, donc on peut partir du principe qu'il existe).
Dès lors, s'il l'on veut résoudre l'équation \[X+1=0 ,\] on est obligé de construire l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs (les entiers qui ont un signe + ou - en somme), histoire de trouver comme solution à l'équation le nombre $-1$.
Ensuite, on construit les nombres rationnels $\mathbb{Q}$, comme quotient des entiers relatifs par les entiers naturels non nuls. Pas sûr que ça soit pour répondre à une équation précise, que l'on me corrige si je me trompe.
Ensuite, on veut résoudre l'équation \[X^2-2=0
\] Et la solution que tu as sûrement trouvée est $\sqrt{2}$, qui est irrationnel : du coup, on construit ce qui est l'ensemble de nombres le plus larges qu'on connaisse (il contient notamment $\pi$ ou $e$ le nombre d'Euler) jusqu'à la première, qui est l'ensemble des réels $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble de nombres qui est le plus compliqué à construire par rapport aux autres (notamment du fait que $\mathbb{R}$ contient "beaucoup plus" d'éléments que n'en contiennent $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$. Enfin bref !)

Dès lors, en classe de Terminale S, la question qu'on se pose, c'est de pouvoir résoudre l'équation suivante \[X^2+1=0 \] On sait qu'il n'y a pas de solutions réelles ($X^2$ est positif et $+1$ est strictement positif donc comment peut-on obtenir quelque chose de nul ... ?)
Dès lors, on introduit le nombre $i$, qui a pour propriété $i^2=-1$ : c'est une solution à l'équation du dessus.
Et donc à partir de là, on introduit initialement le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$, qui est l'ensemble des couples de réels $(x,y)$, que l'on note $z=x+iy$. La somme naturelle sur le corps des complexes est celle où l'on ajoute coordonnées par coordonnées, et le produit fonctionne comme si tu faisais une distributivité sur $(x+iy)(x'+iy')$, en considérant le fait que $i^2=-1$, donc cela te donne $xx'-yy'+i(xy'+x'y)$.
Après, il y a énormément de choses à expliquer sur les complexes : tu peux les représenter dans un plan, et si $z=x+iy$, le point qui correspond dans le plan est le point $M(x,y)$, d'abscisse $x$ et d'ordonnée $y$ (on dit que $z$ est l'affixe du point $M$).
Et ce qu'il faut savoir du coup, c'est qu'à partir de là, toutes les équations du second degré (donc du type $aX^2+bX+c=0$) admettent des solutions complexes lorsque $\Delta <0$ : tu connaissais jusque là le cas $\Delta \geq 0$)
Et les solutions lorsque $\Delta <0$ sont $$
z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}
$$ Si tu veux en savoir plus sur les complexes, n'hésite pas à demander. Sinon, un livre de Terminale S peut faire le travail. Ou encore mieux, un bouquin de L1 Maths qui reprend la base sur les complexes ou un bouquin de MPSI je pense.

Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que toute équation polynomiale de degré $n$ (à coefficients complexes) a exactement $n$ solutions dans l'ensemble des nombres complexes en comptant les multiplicités.

Il a suffit qu'on "décrète" que l'équation $x^2+1=0$ a deux solutions $i$ et $-i$ pour qu'on puisse connaitre les solutions de toutes les équations polynomiales à coefficients complexes.

C'est un autre problème de savoir donner une expression "simple" des racines d'une telle équation.