Résoluble par radicaux

Salut Gebrane
Il n'y a rien d'évident dans l'histoire de résolubilité par radicaux, le résultat qui dit que groupe de Galois résoluble si et seulement si l'équation est résoluble ... ce n'est pas facile du tout !

Donc si on admet le résultat de Galois, il s'agit de déterminer le groupe de Galois de l'équation. Je fais la seconde, c'est plus simple.

1/ On note $G$ le groupe de Galois du polynôme, c'est le groupe de l'extension engendrée sur $\Q$ par toutes les racines de $P$. Il y a une propriété qui te dit que le groupe $G$ agit sur les $5$ racines de $P$ et ça te donne un morphisme injectif de $G$ dans $S_5$ (je numérote aléatoirement les racines).

2/ Donc, on va voir que l'image de se morphisme est $S_5$ et après on va dire (par ce qu'on n'est pas des pros) d'après le cours $S_5$ n'est pas résoluble et donc $P$ n'est pas résoluble pas radicaux.

3/ Le truc est de comprendre comment fabriquer des éléments de l'image de $G$ dans $S_5$ et en produire assez pour voir que cette image est $S_5$ entier. Là je te fournis une usine pour en fabriquer plein.

4/ On prend un nombre premier $p$ et on regarde la décomposition de $P$ modulo $p$ :-D Le truc c'est que la décomposition modulo $p$ te donne "à peu près" un élément dans l'image de $G$ dans $S_5$. Ça fonctionne comme ça :
si $P = \text{Polynôme de degré $2$} \times \text{Polynôme de degré $3$}$ alors l'image de $G$ dans $S_5$ contient une permutation de type $(ab)(cde)$ i.e un produit disjoint d'un $2$-cycle et d'un $3$ cycle. (y a des petits problèmes il faut éviter les $p$ qui divisent le discriminant de $P$ ici on évite $2$ et $3109$).

5/ Je te donne la décomposition de $P$ modulo $p$.

sage: [[p,F.factor_mod(p)] for p in PP]

[[2, x * (x + 1)^4],
 [3, x^5 + 2*x + 1],
 [5, x^5 + 4*x + 3],
 [7, (x + 4) * (x + 5) * (x^3 + 5*x^2 + 5*x + 2)],
 [11, (x + 3) * (x^4 + 8*x^3 + 9*x^2 + 6*x + 3)],
 [13, (x^2 + 12*x + 3) * (x^3 + x^2 + 11*x + 8)],
 [17, (x + 14) * (x^2 + x + 3) * (x^2 + 2*x + 4)],
 [19, (x^2 + 4*x + 11) * (x^3 + 15*x^2 + 5*x + 5)],
 [23, x^5 + 22*x + 21],
 [29, (x + 6) * (x + 10) * (x^3 + 13*x^2 + 22*x + 28)],
 [31, (x + 7) * (x^2 + 10*x + 10) * (x^2 + 14*x + 23)],
 [37, (x + 20) * (x + 30) * (x^3 + 24*x^2 + 13*x + 9)],
 [41, (x^2 + 14*x + 23) * (x^3 + 27*x^2 + 9*x + 32)],
 [43, x^5 + 42*x + 41],
 [47, (x + 35) * (x^2 + 17*x + 45) * (x^2 + 42*x + 43)],
 [53, (x + 9) * (x^4 + 44*x^3 + 28*x^2 + 13*x + 41)],
 [59, x^5 + 58*x + 57],
 [61, (x^2 + 34*x + 53) * (x^3 + 27*x^2 + 5*x + 46)],
 [67, (x + 6) * (x^4 + 61*x^3 + 36*x^2 + 52*x + 22)],
 [71, (x^2 + 24*x + 3) * (x^3 + 47*x^2 + 5*x + 23)],
 [73, (x + 4) * (x + 60) * (x + 62) * (x^2 + 20*x + 61)],
 [79, (x + 39) * (x^4 + 40*x^3 + 20*x^2 + 10*x + 4)],
 [83, (x + 20) * (x + 60) * (x^3 + 3*x^2 + 54*x + 48)],
 [89, (x + 60) * (x^4 + 29*x^3 + 40*x^2 + 3*x + 86)],
 [97, (x + 39) * (x^4 + 58*x^3 + 66*x^2 + 45*x + 87)]]

Maintenant je te rappelle une propriété $S_5$ est engendré par un $5$ cycle et un $2$ cycles quelconques (hum, faut peut-être réfléchir un peu, des fois ma mémoire me joue des tours). Y a plus qu'a regarder dans la liste :-D

Bon ce n'est pas grand chose et ça n'explique pas vraiment le fond du théorème de Galois (je suis bien incapable de l'expliquer).

Ps : Y a des algorithmes qui permettent de calculer les groupes de Galois pour les polynômes de degré $5$ mais c'est des usines à gaz je pense !

Dans mon livre de théorie de Galois, il est écrit que le premier à avoir démontré l'impossibilité de la résolubilité des équations générales de degré $5$ c'est Ruffini (1799) (mais sa démonstration n'a pas convaincu ses contemporains), ensuite il y a un mémoire d' Abel (1824) et après Galois qui a dit une équation particulière est résoluble si et seulement si son groupe de Galois est résoluble. Le gain avec Galois c'est que son critère permet de traiter toutes les équations et non pas seulement "l'équation générale".

Donc je pense que sans les histoires de Galois c'est vraiment complexe, après tu peux toujours regarder les preuves des résultats de Galois et isoler la contradiction dans ton équation mais ça va être super compliqué et faut vraiment tout comprendre. Ou bien tu arrives a trouver une particularité de tes équations qui font que c'est plus simple ...

Donc oui, je pense que c'est compliqué de comprendre !

C'est peine perdue mon cher Math Coss, je suis une calamité :-D

Petite question :

Est-ce que quelqu'un sait comment construire la sous-extension quadratique (de la clôture galoisienne) pour l'exemple 1.

Un calcul plus poussé montre que la racine réelle est:

\begin{eqnarray*}
&&\frac1{20}\left(\sqrt{2\sqrt5-10}-\sqrt5-1\right)\sqrt[5]{-750\sqrt{25-5\sqrt5}+375\sqrt{25+5\sqrt5}+1250\sqrt5-3125}\\
&+&\frac1{20}\left(\sqrt{2\sqrt5-10}-\sqrt5-1\right)\sqrt[5]{-375\sqrt{25-5\sqrt5}-750\sqrt{25+5\sqrt5}-1250\sqrt5-3125}\\
&+&\frac1{20}\left(\sqrt{2\sqrt5-10}-\sqrt5-1\right)\sqrt[5]{375\sqrt{25-5\sqrt5}+750\sqrt{25+5\sqrt5}-1250\sqrt5-3125}\\
&+&\frac15\sqrt[5]{750\sqrt{25-5\sqrt5}-375\sqrt{25+5\sqrt5}-1250\sqrt5-3125}\
\end{eqnarray*}

Plus simplement, tu calcules $y\overline y$ et $y+\overline y$ où $\overline y=x_1x^3_5+x_5x^3_4+x_4x^3_3+x_3x^3_2+x_2x^3_1$. Ca se fait relativement facilement à la main. Tu obtiens que $y$ est solution de $Y^2-10Y+1025=0$.

Salut Joaopa,

Impossible de faire les calculs que tu proposes, il doit y avoir un truc que je n'ai pas compris (enfin $1$ façon de parler )