Base de polynômes non échelonnée

Gauss_wh · July 2018

Bonjour,

Soit $n\in\mathbb N^{*}$. Je sais que si $(P_0,\dots,P_n)$ est une famille échelonnée de $\mathbb K_n[X]$ (i.e. $\forall k\in\{0,\dots,n\},\text{deg}(P_k)=k$) alors c'est une base de $\mathbb K_n[X]$.

Afin de montrer que la réciproque est fausse, à part la famille des polynômes interpolateurs de Lagrange, avez-vous un autre exemple donnant une base qui n'est pas échelonnée ? On peut se placer dans $\mathbb R_2[X]$ pour simplifier les notations.

moduloP · July 2018

Salut,

Est-ce que tu connais une matrice $2 \times 2$ non triangulaire et dont le déterminant est non nul ? ou une matrice $3 \times 3$ si tu préfères $\mathbb{R}_2[X]$.

Math Coss · July 2018

Presque n'importe quelle famille de $n+1$ polynômes est une base de $\R_n[X]$, comme dans n'importe quel espace vectoriel de dimension finie.

L'ensemble de ces familles est « gros » en n'importe quel sens : il est ouvert pour la topologie de la norme, donc « gros » au sens de Baire, ouvert de Zariski, son complémentaire est de mesure de Lebesgue nulle.

GaBuZoMeu · July 2018

Une base bien connue de $\mathbb R_n[X]$ : la famille des $\binom{n}{k} X^k(1-X)^{n-k}$ pour $k$ allant de $0$ à $n$.

Dom · July 2018

On peut aussi ajouter entre-eux des "vecteurs échelonnés" :
Par exemple : $(1+X^2,X+X^2,X^2)$.

Chaurien · July 2018

Dans $\mathbb R_n[X]$ ou $\mathbb C_n[X]$ , polynôme $P$ de degré exactement $n$, prendre la famille $ P(X+a_k)$, $k=0,1,...,n$, les $ a_k $ distincts.
RMS 128-2, février 2018, n° 645, p. 93, oral 2017, Mines-Ponts, PSI.

Gauss_wh · July 2018

Merci.

Base de polynômes non échelonnée

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