Un groupe
Bonjour
Comment se nomme ce groupe $G_T$ et de son sous groupe distingué $G_I$ ?
Sans connaissance malheureusement de leurs appelations je voudrais les appeler
similitude algébrique et isométrie algébrique
mais je préfère utiliser les conventions usuelles
ci-dessous leurs descriptions
on considère les matrices $\mathcal {M}_{ij}(\mathbb {R})$ de $i$ lignes et $j$ colonnes à composantes réelles
l'addition des matrices noté $+$ , le produit des matrices par un scalaire noté $.$ et la multiplication des matrices notée $*$
pour des raisons de simplification d'écriture on note $A=\mathcal {M}_{2,1}(\mathbb {R})$
Soit $B$ une partie de $\mathcal {M}_{2,2}(\mathbb {R})$
on propose la notation suivante
pour tout $X\in B$ on écrira $X=\begin {pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end {pmatrix}$
Cette partie $B$ de $\mathcal {M}_{2,2}(\mathbb {R})$
est telle que pour tout $X\in B$ alors d'une part $x_{11}^2+x_{21}^2\neq 0$
et d'autre part il existe $\sigma \in \{1,-1\}$ vérifiant $x_{12}=\sigma .x_{21}$ et $x_{22}=-\sigma .x_{11}$
Description du groupe $G_T$
Les éléments du groupe $G_T$ sont les éléments du produit cartésien $A\times B$
le groupe est muni de la loi notée $o$
$\forall f=\left(X_f,Y_f \right)\in G_T,\forall g=\left(X_g,Y_g\right)\in G_T$ alors $h=\left( X_h,Y_h\right)=fog\in G_T$ selon
$\left(X_f,Y_f \right)o\left(X_g,Y_g\right)=\left( X_h,Y_h \right)$
avec $X_h=X_g+Y_g*X_f\in A$ [edit]
$Y_h=Y_g*Y_f\in B$
Description du sous groupe distingué $G_I$
$\left( X,Y \right)\in G_I$ si et seulement si $y_{11}^2+y_{21}^2=1$
Comment se nomme ce groupe $G_T$ et de son sous groupe distingué $G_I$ ?
Sans connaissance malheureusement de leurs appelations je voudrais les appeler
similitude algébrique et isométrie algébrique
mais je préfère utiliser les conventions usuelles
ci-dessous leurs descriptions
on considère les matrices $\mathcal {M}_{ij}(\mathbb {R})$ de $i$ lignes et $j$ colonnes à composantes réelles
l'addition des matrices noté $+$ , le produit des matrices par un scalaire noté $.$ et la multiplication des matrices notée $*$
pour des raisons de simplification d'écriture on note $A=\mathcal {M}_{2,1}(\mathbb {R})$
Soit $B$ une partie de $\mathcal {M}_{2,2}(\mathbb {R})$
on propose la notation suivante
pour tout $X\in B$ on écrira $X=\begin {pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end {pmatrix}$
Cette partie $B$ de $\mathcal {M}_{2,2}(\mathbb {R})$
est telle que pour tout $X\in B$ alors d'une part $x_{11}^2+x_{21}^2\neq 0$
et d'autre part il existe $\sigma \in \{1,-1\}$ vérifiant $x_{12}=\sigma .x_{21}$ et $x_{22}=-\sigma .x_{11}$
Description du groupe $G_T$
Les éléments du groupe $G_T$ sont les éléments du produit cartésien $A\times B$
le groupe est muni de la loi notée $o$
$\forall f=\left(X_f,Y_f \right)\in G_T,\forall g=\left(X_g,Y_g\right)\in G_T$ alors $h=\left( X_h,Y_h\right)=fog\in G_T$ selon
$\left(X_f,Y_f \right)o\left(X_g,Y_g\right)=\left( X_h,Y_h \right)$
avec $X_h=X_g+Y_g*X_f\in A$ [edit]
$Y_h=Y_g*Y_f\in B$
Description du sous groupe distingué $G_I$
$\left( X,Y \right)\in G_I$ si et seulement si $y_{11}^2+y_{21}^2=1$
Réponses
-
mince une faute d'inattention à l'endroit marqué [edit]
j'ai corrigé
$X_h=X_g+Y_g*X_f\in A$ [edit]
heureusement que je viens(au bout d'une heure) de le voir car sinon ça ne pourrait pas s'additionner -
Sans doute une autre faute d'inattention : si $Y$ a deux lignes et une colonne, on ne peut pas multiplier à droite par une matrice $X$ de taille $2\times2$. On peut en revanche calculer $X*Y$ (qu'on note en général $XY$).
[Edit : une autre faute d'inattention, la mienne... Je ne modifie pas la suite : pas de raison d'inverser l'ordre des matrices au moment où il faut les multiplier.]
On peut ranger les deux matrices $X_f=\left(\begin{smallmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{smallmatrix}\right)$ et $Y_f=\binom{y_{11}}{y_{21}}$ en une : \[M_f=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&y_{11}\\x_{21}&x_{22}&y_{21}\\0&0&1\end{pmatrix}.\] C'est bien parce que si on définit le produit $f*g$ de $f=(X_f,Y_f)$ et $g=(X_g,Y_g)$ via $(X_f,Y_f)*(X_g,Y_g)=(X_fX_g,Y_f+X_fY_g)$, on a bien : \[M_{f*g}=M_fM_g.\]
Cela permet de définir plusieurs groupes classiques :- le groupe $G_A$ formé des matrices $M_f$ inversibles (cela revient à supposer/importe $X_f$ inversible) quelconques, c'est le groupe des transformations affines du plan : on identifie un point du plan de coordonnées $p=(x,y)$ à la matrice $Y=\binom{x}{y}$ et à la matrice $N_p=\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\1\end{smallmatrix}\right)$ ; l'image du point $p$ par une transformation affine $f$ correspondant à $M_f$ est déterminé par la matrice $3\times1$ naturelle : $M_fN_p$ ;
- le groupe $G_T$ que tu as défini est le groupe des similitudes affines (directes si $\sigma=1$, indirectes si $\sigma=-1$) ;
- le groupe $G_I$ est le groupe des isométries affines.
-
C'est en fait toi qui fais la faute d'inattention : dans la description alambiquée de $G_T$, la première composante du couple $(X_f,Y_f)$ est un vecteur colonne de taille $2$ et la deuxième une matrice $2\times 2$.Math Coss a écrit:Sans doute une autre faute d'inattention
Il faut dire qu'on est pas aidé par les notations et définitions emberlificotées de cuvedepr. Son "pour des raisons de simplification d'écriture" est particulièrement savoureux.
@cuvedepr : tu dis préférer utiliser les conventions usuelles. Alors trouve-toi un bon livre de géométrie, et lis-le ! Même si tu aimes bien réinventer l'eau chaude, ça te permettra de vérifier toi-même que l'eau chaude a déjà été inventée. -
Merci GaBuZoMeuh
(sinon je me doute que ça a déjà été fait)
ça il est impossible que je trouve un truc que personne n'ait fait : mon but est d'espérer mourir moins bête (et ça sera déjà pas mal comme objectif pour moi)
bon je retourne à ma géométrie
je vais voir si je peux utiliser ce groupe pour le faire opérer sur un truc …
à plus Camarade et encore merci : bon alors ce groupe n'a pas de nom (c'est aussi un peu idiot de ma part de vouloir donner des noms à tout ) -
En plus, cuvedepr, tu ne lis pas ce qu'on t'écrit ! Relis le message de Math Coss, et fais l'effort de comprendre.
-
mais justement Y est une matrice inversible
la loi $o$ n'est pas commutative et en la notant multiplicativement
l'élément neutre est $\left( \begin {pmatrix} 0\\0\end {pmatrix},\begin {pmatrix} 1&0\\0&1\end {pmatrix}\right)$
$\forall h=\left(H^{\prime},H\right)\in G_T$ on obtient $h^{-1}=\left( -H^{-1}*H^{\prime},H^{-1} \right)$
pour tout $f=\left(F^{\prime},F\right)$ de $G_T$ et en notant $F=\begin {pmatrix} f_{11}&\sigma_F.f_{21}\\f_{21}&-\sigma_F.f_{11} \end {pmatrix}$ avec $f_{11}^2+f_{21}^2\neq 0$ et $\sigma_F\in \{1,-1\}$ et $F^{\prime}\in \mathcal {M}_{21}\left(\mathbb {R}\right)$
et pour tout $g=\left(G^{\prime},G\right)$ de $G_T$ et en notant $G=\begin {pmatrix} g_{11}&\sigma_G.g_{21}\\g_{21}&-\sigma_G.g_{11} \end {pmatrix}$ avec $g_{11}^2+g_{21}^2\neq 0$ et $\sigma_G\in \{1,-1\}$ et $G^{\prime}\in \mathcal {M}_{21}\left(\mathbb {R}\right)$
$h=fog=\left(H^{\prime},H\right)$ dans $G_T$ et en notant $H=\begin {pmatrix} h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22} \end {pmatrix}$
on peut poser $\sigma_H=-\sigma_G.\sigma_F\in \{1,-1\}$ et vérifier $H=\begin {pmatrix} h_{11}&\sigma_H.h_{21}\\h_{21}&-\sigma_H.h_{11} \end {pmatrix}$
avec $h_{11}=g_{11}.f_{11}+\sigma_G.g_{21}f_{21}$
$h_{21}=g_{21}.f_{11}-\sigma_G.g_{11}f_{21}$
$h_{11}^2+h_{21}^2\neq 0$
et $H^{\prime}=G^{\prime}+G*F^{\prime}\in \mathcal {M}_{21}\left(\mathbb {R}\right)$ -
Peux-tu LIRE le message de Math Coss ?
-
ah oui à la toute fin il en donne le nom
mais bon comme j'ai vu une erreur au début de sa réponse j'ai construit mon post précédent -
Super Merci Mathcoss
donc ça s'appelle comme ça! -
Oui. Au fait, ce n'est pas qu'un nom, il y a une propriété importante sous-jacente.
La distance entre $p=\binom{x}{y}$ et $p'=\binom{x'}{y'}$ est $d(p,p')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$. Cela provient de la norme euclidienne standard sur $\R^2$. C'est compatible avec la norme euclidienne standard sur $\R^2$ quand on regarde $p$ comme $Y_p=\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\1\end{smallmatrix}\right)$.
Bref :- les isométries sont les transformations (affines) $f$ qui préservent la distance : $d(f(p),f(p'))=d(p,p')$ pour tous points $p$ et $p'$ ;
- les similitudes sont celles qui multiplient les distances par une constante : il existe $k>0$ tel que pour tous $p$ et $p'$, on ait $d(f(p),f(p'))=k\cdot d(p,p')$ – question naturelle : que vaut $k$ en fonction de $X_f$ et $Y_f$ ?
-
Encore Super merci Mathcoss
bon après comme je l'ai dit à GabuZoMeuh
à cause de mes problèmes de cerveau (je l'ai pas dit comme ça mais bon)
moins on m'en dit mais juste le minimum -par exemple le nom- ça m'aide (si je le fais pas bosser : je suis mort et pour la sécu ça coútera cher ) -
Bonjour
je reviens juste ici pour une remarque (mais bon tout est dit sur ce sujet)Math Coss
le groupe $G_T$ que tu as défini est le groupe des similitudes affines (directes si $\sigma=1$, indirectes si $\sigma=-1$)
comme je l'ai fait, non là c'est l'inverse
on a directe si $\sigma =-1$ et indirecte si $\sigma =1$
puisque là on a
$e=\begin {pmatrix} e_{11}&\sigma e_{21} \\e_{21}&-\sigma e_{11} \end {pmatrix}$
et donc $|e|=-\sigma \left( e_{11}^2+e_{21}^2\right)$ -
Tu as raison, je n'ai pas regardé assez attentivement. J'ai fait comme font les gens d'habitude (avec ta convention, c'est bizarre que le déterminant soit $-\sigma$ et surtout qu'il faille prendre $\sigma=-1$ pour trouver l'identité).
-
dans le même temps vous êtes largement plus efficace que moi (et ça le restera)
déjà sur mon cahier de géométrie j'ai été obligé de faire trente lignes pour démontrer que $G_I$ est un sous groupe normal de $G_T$
dix pour démontrer que ma relation est bien une relation d'équivalence et vingt pour démontrer sa compatibilité avec la loi $o$
à mon avis c'est vingt cinq de trop mais c'est pas grave à mon niveau ce qui compte c'est d'avoir une preuve (je suis obligé de tout prouver car sinon je n'ai pas confiance à ce que je fais) et qu'acheter un bouquin de géométrie (comme le suggère GaBuZoMeuh ) rien que pour avoir le nom du groupe, je ne trouve pas ça très économique -
Peut-être que le livre contient d'autres informations utiles que le nom du groupe ?
-
BonjourPeut-être que le livre contient d'autres informations utiles que le nom du groupe ?
oui ….tu as raison Mathcoss
toute cette nuit, je ne voulais pas te répondre mais comme tu as raison alors autant te le dire même si ça m'embête(beaucoup)
bon je retourne bosser
encore merci
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