Nombre de groupes de petit cardinal

viko · July 2018

Bonjour,

Je m’entraîne sur des problèmes du type "déterminez tous les groupes de cardinal $n$ à isomorphisme prés" avec $n$ un entier "petit" j'éprouve quelques difficultés, pour n = 4 c'est okay on regarde si il y a un élément d'ordre 4 ou non si il y'en a un le groupe est cyclique et par suite isomorphe à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ sinon tous les éléments sont d'ordre 2, et le groupe est abélien on peut alors écrire la table et comme on a aucun choix à faire pour la construire on définit donc un unique groupe à isomorphisme prés il y'a donc deux groupes d'ordre 4 . Première question comment "voit-on" à partir de la table que dans ce cas le groupe en question est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sans écrire la table de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en même temps.
pour n = 5 comme 5 est premier tous les groupes d'ordre 5 sont cyclique et isomorphe à $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$
pour n=6 déjà ça commence à coincer, si il y a un élément d'odre 6 le groupe est isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ sinon tous les éléments sont d'ordre 2 ou 3 on a en particulier d'aprés le lemme de Cauchy un élément d'odre 2 et 3 mettons $a$ et $b$, $a^2 = 1$ pas de soucis de ce côté on appelle $c$ le carré de $b$ alors $bc=cb=1$ et $c^2 = b^4 = b$ mais je ne vois pas comment réduire encore plus le champ des possibles a priori les deux éléments restants $d$ et $e$ peuvent être d'ordre 2 ou 3 ce qui fait 4 possibilités (au moins) pourtant il n'y a que 2 groupes d'ordre 6....

PS : j'aimerai raisonner de façon assez élémentaire (th de Lagrange lemme de Cauchy) pour le moment donc pas de théorème de structure des groupes abéliens, de p-Sylow (ou tout autre raisonnement sur les p-groupes de façon général) ni de produit semi direct pour l'instant

moduloP · July 2018

Si $e$ et $d$ ne sont pas d'ordre $2$ alors $bab^{-1}$ est d'ordre $2$ c'est donc $a$, ainsi $a$ et $b$ commutent ... et $ab$ est d'ordre $6$. Donc $e$ et $d$ sont d'ordre $2$. (vérifie j'ai fais vite).

Ps :
Après tu peux prouver que dans ce cas ($3$ éléments d'ordre $2$ et $2$ éléments d'ordre $3$ et l'unité). L'action de $G$ par conjugaison sur les élément d'ordre $2$ donne un morphisme $\Phi :G \to S_3$ qui est un isomorphisme (regarder le noyau).

Maxtimax · July 2018

Pour voir que c'est $(\mathbb{Z/2Z})^2$ sans écrire les tables, tu peux observer que c'est un $\mathbb{Z/2Z}$-espace vectoriel, le cardinal imposant la dimension.

Plus élémentairement, tu peux dire "soit $x$ un élément non nul. Il est d'ordre $2$. Soit $y$ un autre élément non nul (il en existe car le groupe est de cardinal $4$). Alors $e,x,y,xy$ sont $4$ éléments distincts de $G$ et c'est donc $G$. ". Moins élémentairement mais plus généralement pour les groupes d'exposant $2$ tu peux considérer une partie génératrice minimale et raisonner dessus.

Pour $n=6$, tu sais que $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\}$ donc $|\langle a\rangle\langle b\rangle| = 2\times 3 = 6$. Ainsi les éléments peuvent s'écrire $e,a,ab,ab^2, b, b^2$. En particulier, $\langle a,b\rangle = G$. Reste à distinguer selon que $a,b$ commutent ou non, et cela te donnera tes deux groupes (je te laisse réfléchir un peu)

viko · July 2018

Maxtimax comment définis-tu la strucutre de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-ev ? la façon dont je le fais ($1\cdot a=a$ et $0 \cdot a = 0$) et j'ai pas l'impression qu'on ai le choix de faire autrement.... donne des choses bizzares par exemple si on se place dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ toutes les familles sont au choix liées ou non génératrice !($(0),(0,1),(0,2),(0,1),(1,2),(0,1,2)$ sont liées et les deux restants pas génératrices) liée cela signifit-il que la dimension de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ en tant que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-ev est infinie ? (

par ailleurs je ne comprends pas bien ce qui assure $xy \neq y$

la remarque que tu proposes sur les parties génératrices minimales n'est pas valable que pour les groupe d'exposant 2 ?

Maxtimax · July 2018

Il faut vérifier que ça donne bien un ev (notamment $(1+1)x = 1x + 1x$) et c'est là que l'exposant $2$ intervient.

$\mathbb{Z/3Z}$ n'en est donc pas un !

$xy = y \implies x=e$, non ? Similairement pour $xy=x$...

On peut toujours considérer une telle famille mais pour un groupe quelconque ça ne donne pas grand chose; pour ceux d'exposant $2$ ça donne élémentairement une classification

viko · July 2018

donc pour le cas n= 6 si a et b commutent ab est d'ordre 6 et le groupe est isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ dans le cas contraire on obtient un (unique) groupe non abélien je déduis donc qu'il s'agit de $S_3$ puisqu'il est d'ordre 6 également !

comment aurait on pu voir qu'il s'agissait de $S_3$ un peu plus généralement que dans ce cas précis ?

Rubgo · July 2018

Pour n=6. En supposant qu'il n'y ait pas d'élément d'ordre 6. Montre qu'il y en a un d'ordre 2 et un d'ordre 3. Quel est l'ordre du produit de ces deux éléments?

Maxtimax · July 2018

Que veux-tu dire "plus généralement" ? Plus généralement que $n=6$ tu auras du mal pour obtenir $\mathfrak{S}_3$, et en général c'est bien plus compliqué d'obtenir une description des groupes de cardinal $n$ pour un $n$ "plus général"

moduloP · July 2018

Salut,

Comme Max, je n'ai pas compris la question mais peut être la petite remarque que j'ai faite un peu plus haut sur l'action de $G$ par conjugaison sur les éléments d'ordre $2$ correspond à ce que tu veux ?

viko · July 2018

c'est la même question que celle que j'ai posé en premier pour les groupes de cardinal 4, où il fallait "voir" que le groupe sans élément d'ordre 4 était $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ et bien la comment voit-on que le groupe qu'on obtient est $S_3$, la je le sais car il n'y a qu'un groupe non abélien d'ordre 6 donc le groupe qu'on a trouvé c'est forcément $S_3$ mais dans un cadre plus général comment faire ? j'entends, si je connais la table d'un groupe de cardinal n et la liste de tous les groupes de cardinal n comment identifier quel groupe j'ai trouvé sans écrire les tables de chacun des groupes de cardinal n ?

Nombre de groupes de petit cardinal

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