Endomorphisme cyclique
dans Algèbre
Bonsoir
Dans un C-espace vectoriel de dimension finie je voudrais montrer l'équivalence entre u est cyclique et tous les sous-espaces propres de u sont de dimension 1.
Pour le sens direct, u étant cyclique sa matrice dans une base adaptée est une matrice compagnon M. Si k est une valeur propre M - k In étant de rang au moins n-1 (les premiers vecteurs sont libres) la dimension de l'espace propre est 1.
Je bloque pour le sens indirect.
Merci d'avance.
Dans un C-espace vectoriel de dimension finie je voudrais montrer l'équivalence entre u est cyclique et tous les sous-espaces propres de u sont de dimension 1.
Pour le sens direct, u étant cyclique sa matrice dans une base adaptée est une matrice compagnon M. Si k est une valeur propre M - k In étant de rang au moins n-1 (les premiers vecteurs sont libres) la dimension de l'espace propre est 1.
Je bloque pour le sens indirect.
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Réponses
Restreint à chaque espace caractéristique, $u$ est donc cyclique (si on prend une base $(e_1,...,e_k)$ où $u$ s'écrit $\lambda Id + N$ où $N$ est la matrice nilpotente standard de rang maximal, alors $e_k$ est un vecteur cyclique). On prend donc un vecteur cyclique $x_\lambda$ pour chaque espace caractéristique. Ensuite ...
Problème : je ne vois pas ou on a utilisé le fait que ces espaces soient de dimension 1
Edit: je répondais à la première proposition je n'ai pas encore lu les autres messages