Sous-groupes maximaux d'un groupe fini

Je suis du même avis que Dieudo. Il existe en tout cas des treillis dans lesquels le résultat correspondant est faux; certes tout treillis n'est pas un treillis de sous-groupes mais ça donne une idée.

Bonjour Alain,
Sais-tu si ton contre-exemple est minimal (en termes de cardinalité de $G$) ?

Je suis d'accord pour les groupes abéliens finis de la forme $\displaystyle\prod_i \Z/p_i\Z$, où les $p_i$ sont des premiers deux à deux distincts (en fait les $\Z/n\Z$, $n$ un entier squarefree).

En fait ta propriété marche aussi pour tout $(\Z/p\Z)^k, k\in \N$ et $p$ premier (il faut raisonner en termes de $\mathbb{F}_p$-espaces vectoriels)


De plus si $G,H$ sont abéliens de cardinaux premiers entre eux, et vérifient ta popriété (tout sous-groupe propre est intersection de sous-groupes maximaux) alors $G\times H$ aussi. Donc les produits de groupes abéliens simples l'ont.

Inversement, si $G,H$ sont abéliens et $G\times H$ a ladite propriété, $G$ et $H$ l'ont aussi. Or $\Z/p^k\Z$ ne l'a pas pour $k\geq 3$: en effet $p^2\Z/p^k\Z$ n'est pas l'intersection de sous-groupes maximaux.

Reste donc à traiter le cas de $\Z/p\Z \times Z/p^2\Z$ pour avoir une description complète des groupes abéliens finis qui ont la propriété "Tout sous-groupe est une intersection de sous-groupes maximaux"; et pour voir si ça coïncide avec ceux qui ont un groupe de Frattini trivial

Re-bonsoir
Pour commencer à répondre à la caractérisation des groupes fini dont le sous-groupe de Frattini est trivial.

Commençons par les $p$-groupes. Soit $G$ un $p$-groupes. Les maximaux de $G$ sont exactement tous ses sous-groupes d'indice $p$ et à ce titre sont distingués dans $G$ (indice le plus petit premier divisant l'ordre de $G$). Le quotient associé est donc isomorphe au cyclique $C_p$ commutatif, donc chaque sous-groupe maximal contient le sous-groupe dérivé. Le sous-groupe de Frattini $\Phi(G)$ étant l'intersection de tous les sous-groupes maximaux contient donc le groupe dérivé.
Si donc le sous-groupe de Frattini est trivial, il en est de même du sous-groupe dérivé et donc le groupe $G$ est commutatif.
D'autre part le quotient $G/\Phi(G)$ est $p$-abélien élémentaire (espace vectoriel sur le corps $\mathbb F_p$), car il s'injecte dans $\prod\limits_{M \text{ maximal}} G/M$ qui est un produit direct de cycliques $C_p$.
Finalement les seuls $p$-groupes (finis) dont le sous-groupe de Frattini est trivial sont $p$-abéliens élémentaires (espace vectoriel sur le corps $\mathbb F_p$).

Continuons avec les groupes nilpotents (dont les groupes commutatifs font partie).
Soit $G$ un groupe nilpotent fini, il est le produit direct de ses $p$-Sylow qui sont tous distingués (caractéristique des groupes nilpotents).
D'autre part pour les groupes finis, le sous-groupe de Frattini d'un produit direct est le produit direct des Frattini de ses facteurs directs : $\Phi(H\times K)=\Phi(H)\times \Phi(K)$.
Alors si $\Phi(G)=\{1\}$, il en est de même du Frattini de ses $p$-Sylow qui sont donc tous $p$-abéliens élémentaires, pour chaque $p$ premier divisant l'ordre de $G$.
Finalement les seuls groupes nilpotents admettant un sous-groupe de Frattini trivial sont produit direct de groupes $p$-abéliens élémentaires (donc commutatifs).

Il faut continuer avec les groupes résolubles et les non résolubles ...
Alain