Valeurs Propres Complexes

Pierre_kou · July 2018

Salut,

je voudrais savoir comment on peut prouver q'une valeur propre complexe lambda est une valeur propre complexe d'une matrice A comme dans le cas d'une valeur propre réel (si (det(A-lambda*I)=0 alors lambda est une valeur propre de A).

Merci d'avance,

Poirot · July 2018

Qu'est-ce qui change entre les réels et les complexes ? Il suffit de calculer $\det(A-\lambda I_n)$ et de chercher à savoir quand cette quantité est nulle, il n'y a aucune différence entre le cas réel et le cas complexe.

Peut-être t'interroges-tu sur le fait que l'on distingue parfois les deux types de valeurs propres ? C'est simplement dans l'étude de la réduction de l'endomorphisme sous-jacent, vu comme endomorphisme d'un $\mathbb R$-espace vectoriel ou bien $\mathbb C$-espace vectoriel que ça a une importance.

gerard0 · July 2018

Bonjour.

je ne comprends pas bien la différence que tu fais entre "valeur propre complexe" et "valeur propre complexe d'une matrice A", mais en tout cas, les calculs dans $\mathbb C$ suivent les mêmes règles que ceux dans $\mathbb R$, donc à priori, la preuve est la même (preuve dont je ne sais pas ce qu'elle est).

Pour plus de précision, il va falloir que tu expliques clairement de quoi tu parles, quitte à nommer les objets que tu utilises.

Cordialement.

Pierre_kou · July 2018

Merci beaucoup pour votre réponse

Par exemple j'ai une matrice carrée A de dimension 719*719.

Si je calcule les valeurs propres lambda avec Matlab de cette matrice et je les utilise dans le calcule de cette quantité det(A-lambda*i) pour tous les lambda

je trouve que cette quantité est égale à zéros dans le cas des lambda réels, et égale à -Inf - Inf*i dans le cas des lambda complexes

Poirot · July 2018

Ça n'a aucun sens, le polynôme caractéristique de ta matrice ne peut pas s'annuler pour tous les $\lambda$ réels ! Tu devrais avoir au plus $719$ valeurs de $\lambda$ qui annulent $\det(A- \lambda I_{719})$. Je penche pour une erreur de manipulation de Matlab de ta part (et le fameux "-Inf - Inf*i" a encore moins de sens).

Pierre_kou · July 2018

Merci beaucoup pour votre réponse,

Veuillez trouver en pièces jointes la matrice et le code matlab si vous voulez les tester.

Il suffira de copier les données du fichier exemple dans un fichier texte sous le nom 'test.txt et aussi il faut le sauvegarder dans le même dossier que le code matlab',

Crapul · July 2018

Pour les gens rouillés en matlab, tu peux expliquer ce que fait ton code ?

Pierre_kou · July 2018

Bonjour

gerard0 · July 2018

Bonjour.

J'entrevois une possibilité, qui serait liée à la matrice que tu utilises (je n'ai pas tout compris à ton code matlab, je ne comprends pas pourquoi tu n'utilises pas directement A₀). En effet, avec matlab, tu fais du calcul approché, calcul qui est très sensible aux erreurs d'arrondi du logiciel dans certaines circonstances. Et ce d'autant plus que la taille du calcul est importante. Avec une matrice 719x719, tu prends ce risque. La chose amusante si c'est ça est que l'erreur est systématique sur les valeurs propres complexes (peut-être moins précises, ou un dénominateur arrondi à 0).

Cordialement.

Pierre_kou · July 2018

Merci Beaucoup 78192

Rescassol · July 2018

Bonjour,

Ça ne te gêne pas d'utiliser $i$ comme indice de boucle alors que tu as des complexes ?

Cordialement,

Rescassol

Pierre_kou · July 2018

oui avec Matlab on peut utiliser i comme indice de boucle même s'il y a des valeurs complexes;

gerard0 · July 2018

Ok pour la fabrication de la matrice, due à ton choix de format.

Sinon ton "normalement" (*) me semble bien grossier !! si tu fais un calcul dont le résultat est imprécis, puis aun autre encore, tu peux t'attendre à des fortes imprécisions. De plus, tu ne sembles pas avoir complétement lu, je donnais un cas où un arrondi donne une énorme erreur.

(*) je ne perds pas de temps à écrire puisque je ne peux pas copier, tu aurais pu écrire directement ton message.

Pierre_kou · July 2018

Merci beaucoup,
Désolé pour les captures,

j'ai essayé d’écrire directement mais l'hors de l'envoi, un message d'erreur s'affiche à propos l’existence de quelques caractères illégaux,

j'ai dit "normalement", parce que j'utilise lors de la vérification de det(A-lambda*I) les mêmes valeurs propres de la matrice A pas d'autres valeurs.

gerard0 · July 2018

Non, tu n'as toujours pas compris. Tu n'utilises pas "les mêmes valeurs propres de la matrice A" mais des valeurs approchées d'icelles.

Pour ton texte, le seul problème peut venir de $\lambda$, que j'ai ici écrit en LaTeX, en écrivant \lambda entre deux signes $.

Cordialement.

Pierre_kou · July 2018

Je suis d'accord avec vous, mais dans ce cas on peut dire que la commande "Eig'" du Matlab ne donne pas la bonne approximation des valeurs propres surtout dans le cas des matrices de grande taille.

gerard0 · July 2018

Comme tout programme de calcul approché, il fait ce qu'il peut. Et l'erreur peut aussi se produire dans le calcul du déterminant (un déterminant 719x719 n'est pas un calcul élémentaire !!)

Rappel : même des calculs simples peuvent être très faux, par exemple le calcul $10^{75}+1-10^{75}$ qui donne généralement 0 au lieu de 1.

Pierre_kou · July 2018

vous n'avez pas d'autre solution à utiliser pour prouver qu'une valeur propre d'une matrice A1 est une valeur propre d'une autre matrice A2 ou non?

gerard0 · July 2018

Ce n'est pas ce que tu faisais au début. Plus gênant, le calcul approché est délicat pour prouver que quelque chose est nul (à peu près 0 n'est pas 0).

Donc il faudrait faire du calcul exact, et par exemple chercher si les polynômes caractéristiques des deux matrices ont des racines communes (recherche du pgcd). les logiciels de calcul formel sont faits pour ça.

Cordialement.

NB : Pour bien faire du calcul approché, il faut bien connaître l'algèbre.

Pierre_kou · July 2018

Merci beaucoup pour vos réponses.

En fait c'est la même chose parce que au début j'ai commencé par la vérification de det(A-lambda*I)=0 avec [où] les lambda sont les valeurs propres de la matrice A, si cette relation fonctionne correctement avec des valeurs propres connues, donc on peut l'utiliser dans d'autres cas généraux.
Je pense que dans le cas des matrice des grands ordres l’utilisation de logiciels de calcul formelle est impossible.

Dans mon cas j'utilise Matlab et le det(A-lambda*I)=0 est utilisé comme une condition de vérification dans un programme de 100 lignes, donc l'utilisation des polynômes caractéristiques est très difficile.

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