Valeurs Propres Complexes
dans Algèbre
Salut,
je voudrais savoir comment on peut prouver q'une valeur propre complexe lambda est une valeur propre complexe d'une matrice A comme dans le cas d'une valeur propre réel (si (det(A-lambda*I)=0 alors lambda est une valeur propre de A).
Merci d'avance,
je voudrais savoir comment on peut prouver q'une valeur propre complexe lambda est une valeur propre complexe d'une matrice A comme dans le cas d'une valeur propre réel (si (det(A-lambda*I)=0 alors lambda est une valeur propre de A).
Merci d'avance,
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Réponses
Peut-être t'interroges-tu sur le fait que l'on distingue parfois les deux types de valeurs propres ? C'est simplement dans l'étude de la réduction de l'endomorphisme sous-jacent, vu comme endomorphisme d'un $\mathbb R$-espace vectoriel ou bien $\mathbb C$-espace vectoriel que ça a une importance.
je ne comprends pas bien la différence que tu fais entre "valeur propre complexe" et "valeur propre complexe d'une matrice A", mais en tout cas, les calculs dans $\mathbb C$ suivent les mêmes règles que ceux dans $\mathbb R$, donc à priori, la preuve est la même (preuve dont je ne sais pas ce qu'elle est).
Pour plus de précision, il va falloir que tu expliques clairement de quoi tu parles, quitte à nommer les objets que tu utilises.
Cordialement.
Par exemple j'ai une matrice carrée A de dimension 719*719.
Si je calcule les valeurs propres lambda avec Matlab de cette matrice et je les utilise dans le calcule de cette quantité det(A-lambda*i) pour tous les lambda
je trouve que cette quantité est égale à zéros dans le cas des lambda réels, et égale à -Inf - Inf*i dans le cas des lambda complexes
Veuillez trouver en pièces jointes la matrice et le code matlab si vous voulez les tester.
Il suffira de copier les données du fichier exemple dans un fichier texte sous le nom 'test.txt et aussi il faut le sauvegarder dans le même dossier que le code matlab',
J'entrevois une possibilité, qui serait liée à la matrice que tu utilises (je n'ai pas tout compris à ton code matlab, je ne comprends pas pourquoi tu n'utilises pas directement A0). En effet, avec matlab, tu fais du calcul approché, calcul qui est très sensible aux erreurs d'arrondi du logiciel dans certaines circonstances. Et ce d'autant plus que la taille du calcul est importante. Avec une matrice 719x719, tu prends ce risque. La chose amusante si c'est ça est que l'erreur est systématique sur les valeurs propres complexes (peut-être moins précises, ou un dénominateur arrondi à 0).
Cordialement.
Ça ne te gêne pas d'utiliser $i$ comme indice de boucle alors que tu as des complexes ?
Cordialement,
Rescassol
Sinon ton "normalement" (*) me semble bien grossier !! si tu fais un calcul dont le résultat est imprécis, puis aun autre encore, tu peux t'attendre à des fortes imprécisions. De plus, tu ne sembles pas avoir complétement lu, je donnais un cas où un arrondi donne une énorme erreur.
(*) je ne perds pas de temps à écrire puisque je ne peux pas copier, tu aurais pu écrire directement ton message.
Désolé pour les captures,
j'ai essayé d’écrire directement mais l'hors de l'envoi, un message d'erreur s'affiche à propos l’existence de quelques caractères illégaux,
j'ai dit "normalement", parce que j'utilise lors de la vérification de det(A-lambda*I) les mêmes valeurs propres de la matrice A pas d'autres valeurs.
Pour ton texte, le seul problème peut venir de $\lambda$, que j'ai ici écrit en LaTeX, en écrivant \lambda entre deux signes $.
Cordialement.
Rappel : même des calculs simples peuvent être très faux, par exemple le calcul $10^{75}+1-10^{75}$ qui donne généralement 0 au lieu de 1.
Donc il faudrait faire du calcul exact, et par exemple chercher si les polynômes caractéristiques des deux matrices ont des racines communes (recherche du pgcd). les logiciels de calcul formel sont faits pour ça.
Cordialement.
NB : Pour bien faire du calcul approché, il faut bien connaître l'algèbre.
En fait c'est la même chose parce que au début j'ai commencé par la vérification de det(A-lambda*I)=0 avec [où] les lambda sont les valeurs propres de la matrice A, si cette relation fonctionne correctement avec des valeurs propres connues, donc on peut l'utiliser dans d'autres cas généraux.
Je pense que dans le cas des matrice des grands ordres l’utilisation de logiciels de calcul formelle est impossible.
Dans mon cas j'utilise Matlab et le det(A-lambda*I)=0 est utilisé comme une condition de vérification dans un programme de 100 lignes, donc l'utilisation des polynômes caractéristiques est très difficile.