Base d'un espace vectoriel de suites réelles

Bbidule · July 2018

Bonjour,

Soit $a\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\}$. Soit $p\in\mathbb{N}$. On note : $$
\mathcal{S}_p = \left\{(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{A}(\mathbb{N},\mathbb{R})~|~\exists P\in \mathbb{R}_p[X],~\forall n\in\mathbb{N},~u_{n+1} = au_n +P(n)\right\}
$$ Je pense avoir déterminé une base de $\mathcal{S}_p$, mais les expressions que j'obtiens sont franchement peu sympathiques, et les calculs que j'ai dû effectuer me paraissent anormalement lourds, ce qui m'amène à penser que je suis passé à côté de quelque chose.

Parvenez-vous à produire une base "simple" de cet espace vectoriel, en effectuant un minimum de calcul, et si, oui, comment ?
Je pense que l'idée serait de partir d'une base de $\mathbb{R}_p[X]$ astucieusement choisie, mais je n'arrive pas à concrétiser.

En vous remerciant par avance,

viko · July 2018

Salut,

tu peux écrire que $\mathcal{S}_p$ se décompose en somme directe sur l'ev des suites géométriques de raison a et les suites polynomiales en n (de degrés au plus $p$) ce qui fournit une base

Bbidule · July 2018

@viko: merci pour ta réponse, mais ce qui m'intéresse vraiment, ce sont les calculs que tu as effectués pour en arriver là !
Je rappelle que je cherche la solution la plus élégante/concise/moins calculatoire possible.

Merci encore.

LOU16 · July 2018

Bonjour,
Il me semble que:
$\mathcal P_p $ désignant l'espace des suites polynomiales de degré inférieur à $p$, et $f$ l'élément de $\mathcal L(\mathcal S_p;\mathcal P_p) $ défini par: $\forall u \in \mathcal S_p, \forall n \in \N\:\: \big( f(u)\big) _n = u_{n+1}-au_n$, on a: $f$ est surjectif et $\dim(\ker f) =1$. $\big( \ker f$ est engendré par la suite $(a^n)_n\big)$.
Ainsi: $\dim \mathcal S_p= p+2.\:\:$ D'autre part: $\:\:\mathcal P_p \subset \mathcal S_p;\:\: \mathcal P_p \cap \ker f =\{0\} $ donc $\:\:\mathcal S_p =\mathcal P_p \oplus \ker f$.

jandri · July 2018

Pour $a\neq1$ l'application définie par $f(P)=P(X+1)-aP(X)$ est un automorphisme de $\mathbb{R}_p[X]$ (son noyau est clairement réduit à $\{0\}$).
Par suite pour tout $P\in\mathbb{R}_p[X]$ il existe un unique $Q\in\mathbb{R}_p[X]$ tel que $Q(X+1)-aQ(X)=P(X)$.

$u_{n+1} = au_n +P(n)$ est alors équivalent à $u_{n+1}-Q(n+1) = a(u_n -Q(n))$. La suite $v_n=u_n -Q(n)$ est donc géométrique de raison $a$.
On a donc $u_n=\lambda a^n+Q(n)$ avec $Q$ polynôme de degré au plus $p$.

Maxtimax · July 2018

LOU16: $\mathcal{P}_p\subset \mathcal{S}_p$ ?

@jandri : très beau !

Bbidule · July 2018

Bonsoir,

Merci à vous deux pour vos réponses.
Je cherchais en particulier une solution ne faisant pas appel à la notion de somme directe.

La solution élégante de jandri permet de compléter la stratégie que j'avais en tête:
utiliser la famille $\left((X+1)^{k}-aX^{k}\right)_{k\in\{0;1;...;p\}}$, qui s'avère être est une base de $\mathbb{R}_p[X]$ adéquate ici, puis "remonter" dans $\mathcal{S}_p$.
Bêtement, j'avais examiné des bases de $\mathbb{R}_p[X]$ non appropriées ici, qui induisaient alors des calculs conséquents.

Merci encore pour vos réponses !

LOU16 · July 2018

Bonjour Maxtimax,
Il m'a semblé en effet que: Si $ u \in \mathcal P_p$, alors $\exists P \in \R_p[X] $, tel que $\forall n \in \N,\:\: u_{n+1}-au_n=P(n+1) -a P(n) = Q(n)$ avec $Q\in \R_p[X]$, ce qui signifie que $u \in \mathcal S_p$.