Image et suite exacte
Salut
On considère $$\xymatrix {1\ar[r] & \mathfrak S_n \ar[r]^-{f}& GL_n(\mathbb{C}) \ar[r]^-{\det}& \mathbb{C}^\times \ar[r]& 1}
$$ le premier morphisme est $f$ et le second $\det$
et où $f$ est défini par : $f(\sigma) = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n}$
Il s'agit de montrer que cette suite est exacte mais je ne parviens pas à montrer que $f$ est un morphisme (le reste c'est bon) une piste ? j'ai essayé de montrer que ça marchait sur les cycles puis d'utiliser le fait qu'ils engendrent $\mathfrak S_n$ mais je n'ai pas réussi comme ça non plus...
On considère $$\xymatrix {1\ar[r] & \mathfrak S_n \ar[r]^-{f}& GL_n(\mathbb{C}) \ar[r]^-{\det}& \mathbb{C}^\times \ar[r]& 1}
$$ le premier morphisme est $f$ et le second $\det$
et où $f$ est défini par : $f(\sigma) = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n}$
Il s'agit de montrer que cette suite est exacte mais je ne parviens pas à montrer que $f$ est un morphisme (le reste c'est bon) une piste ? j'ai essayé de montrer que ça marchait sur les cycles puis d'utiliser le fait qu'ils engendrent $\mathfrak S_n$ mais je n'ai pas réussi comme ça non plus...
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Réponses
C'est quoi une suite exacte ? Histoire de voir ce qu'il faut montrer !
je considère $A := f(c)f(d)$ alors $A_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \delta_{i,c(k)}\delta_{k,d(j)}$ ce coeff vaut 1 ou 0 car pour qu'il soit non nul il faut que $\delta_{i,c(k)}$ et $\delta_{k,d(j)}$ soient non nuls simultanément or chacun d'eux est non nul au plus une fois car c et d sont des bijections. $A_{ij}$ vaut ssi il existe $k \in \{1,...,n\}$ tel que $i = c(k)$ et $k = d(j)$ soit, $i = (c \circ d)(j)$ d'où le résultat
On prend $n=2$ ... $\sigma = (12)$, $f(\sigma) = ? $ et $\text{Det}(f(\sigma)) = ? $
Je pense que tu as oublié l'exactitude au "milieu", non ?
$$
1 \to \text{SL}_n(\C) \to \text{GL}_n(\C) \to \C^\star \to 1
$$
Le premier morphisme est l'inclusion et le second est le déterminant ...
Soit $n > 1$ un entier. On considère $\sigma = (n-1,n) \in S_n$.
1. Ecrire la matrice $f(\sigma)$.
2. Calculer le déterminant de $f(\sigma)$
3. Montrer que toute transposition $\tau := (i,j)$ est une conjugaison de $\sigma$ i.e il existe $\gamma \in S_n$ tel que $\gamma \sigma \gamma^{-1} = \tau$.
4. En déduire $\text{Det}(f(\tau)$ pour $\tau$ une transposition.
5. En déduire que l'image est $\{-1,1\}$
6. Réfléchir si $\text{Det} \circ f$ n'est pas simplement la signature :-D
Il y a certainement plus simple en interprétant les matrices $f(\sigma)$ comme opérations élémentaires et en utilise le caractère $n$-linéaire alterné du déterminant.
PS : Sinon pour tout $\sigma \in S_n$ on a $ \text{Det}(f(\sigma)) \in \Z$ et $f(\sigma)f(\sigma^{-1}) = I_n$. D'où :$\text{Det}(f(\sigma)) \text{Det}(f(\sigma))^{-1} = 1$ cette égalité est dans $\Z$ et on en déduit que $\text{Det}(f(\sigma)) \in \{ \pm 1\}$.
2. On développe par rapport à la dernière colonne on trouve -1
3. Toute les transpositions sont conjuguée via $\gamma \sigma \gamma^{-1} = (\gamma(n-1),\gamma(n))$
4. Comme toute les transpositions sont conjuguées elles sont la même image par le morphisme $det \circ f$ ($\mathbb{U}_2$ est abélien)
et comme $det \circ f$ coïncide avec la signature sur un système générateur (les transpositions) il s'agit du même morphisme !
(Edit : j'ai lu le fil et vous l'aviez remarqué, tant mieux)
Pour la représentation de $SL_n(\C)$, comme il s'agit de l'action $g\cdot X = gX$ on parlerait souvent de "représentation naturelle" ?
Notons que la suite exacte proposée par moduloP est exacte essentiellement par définition de $SL_n$ (il y a juste l'exactitude en $\C^\tiles$ qui n'est pas définitionnelle)
Et tu as aussi raison pour dire que ma suite exacte est triviale ;-)
PS : une autre façon de conclure pour la partie sur $Im(det \circ f)$ aurait été de remarquer que les seuls morphismes $S_n \rightarrow \mathbb{C}^\times$ sont la signature et le morphisme trivial, en effet par rigidité un morphisme $S_n \rightarrow \mathbb{C}^\times$ est entièrement déterminé par l'image des transpositions qui sont toutes les mêmes puisque les transpositions sont conjuguées et $\mathbb{C}^\times$ abélien, enfin comme pour toute transposition $\tau$ on a $\tau^2= id$ nécessairement l'image d'une transpo est -1 ou 1 d'où le résultat
Bon je prend le risque de dire une connerie mais bon …(pardon mais c'est un risque calculé)
je parles là du premier post et de la question posée(je n'ai pas eu le temps de lire tout le monde)
si ton $ f$ est une injection et c'est évidemment le cas* et $g$ une surjection (et là encore il suffit que g soit une bijection**) alors oui c'est une suite exacte
*comme le groupe symétrique $\mathfrak {S}_n$ est fini tandis que le groupe linéaire général $GL_n(\mathbb {C})$ ne l'est pas
il n'y a pas de problème pour faire de $f$ une injection
** aucun problème pour faire de $g$ une bijection de $GL_n(\mathbb {C})$ vers l'ensemble des déterminants non nuls de cet ensemble là
On a l'impression que tu dis : si $\phi$ est un morphisme d'un groupe $G$ fini vers un groupe $G'$ infini alors $\phi$ est injectif ???
après si on fait en sorte que $f(\tau_x)=f(\tau_y), \tau_x\neq \tau_y$ bah on peut le faire mais faudra vérifier $f(\tau_x).f(\tau_y)=f(\tau_xo\tau_y)$
et pour ça il faut que $f$ soit une injection
ceci dit j'en sais rien : je suppose
bon du coup ce que j'ai dit est faux (concernant le fait que l'on ne peux pas avoir deux permutations invalidant une injection ne pouvaient pas êtres inverses
mais pour le reste ça ne change rien au fait que l'injection n'est pas obligatoire
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je laisse mon message mais évitez de lire à l'endroit où je dis une connerie
ModuloP comment ça?
mais attends : ils veulent* que $f$ soit une injection (c'est pas moi qui le veux) mais dans la définition de suite exacte courte ils veulent ça et ils veulent que $g$ soit une surjection
À mon avis s'ils veulent ça c'est qu'il y a bien une raison et là je donne juste une explication du pourquoi ils veulent ça
après $f$ est un morphisme si tu me demande si le fait que $f$ est un morphisme oblige que $f$ soit forcément une injection (mais tu ne me l'a pas demandé )
je te dirai que non
admettons $f$ n'est pas une injection et je pose deux permutations (aucune des deux n'est le neutre) telles que
$\varphi(\tau_x)=\varphi(\tau_y),\tau_x\neq \tau_y$
et on sait que $\varphi (\tau_xo\tau_y)=\varphi(\tau_x).\varphi(\tau_y) $
comme $\tau_x\neq \tau_y$ alors on peut voir que $\tau_x$ n'est pas la permutation inverse de $\tau_y$
effectivement admettons que $\tau_x$ est la permutation inverse de $\tau_y$ et $\tau_xo\tau_y=\tau_0$ la permutation identité
et alors dans ce cas $\varphi (\tau_xo\tau_y)=\varphi(\tau_x).\varphi(\tau_y)=1 $
du coup $\varphi(\tau_x)^{-1}=\varphi(\tau_y)$
ce qui est impossible car on a dit que $f$ est un morphisme et que $\tau_x$ ni $\tau_y$ ne sont la permutation identité et donc
$f(\tau_x)\neq1$ et $f(\tau_y)\neq 1$
mais on doit pourtant avoir$\varphi(\tau_x).\varphi(\tau_y)=1 $
avec $\varphi(\tau_x)=\varphi(\tau_y)$
donc $\tau_x$ n'est pas la permutation inverse de $\tau_y$
mais rien n'empêche que $f$ soit un morphisme mais pas une injection
ici on aura que l'image de la composition des deux permutations comme étant un carré d'images de deux transpositions différentes
*ils c'est qui ? j'en sais rien mais ils existent
mais on m'a demandé si $f$ injection est une obligation (on m'a dit que j'ai laissé entendre ça )
j'ai dit que non mais c'est juste que là on aura pas de suite exacte mais ça marche quand même pour un morphisme (mais alors il faudra que si deux permutations qui invalident l'injection alors elles ne soient pas inverse l'une de l'autre mais à part ça c'est bon )
après j'ai supposé pourquoi ils voulaient une injection
j'ai dit un truc mais j'ai précisé que j'en sais rien : c'est juste une supposition
ils ne disent pas pourquoi dans leurs définition de suite exacte
bon du coup ce que j'ai dit est faux (concernant le fait que l'on ne peux pas avoir deux permutations invalidant une injection ne pouvaient pas êtres inverses
mais pour le reste ça ne change rien au fait que l'injection n'est pas obligatoire
$\xymatrix {1\ar[r] & \mathfrak A_n \ar[r]^-{f}& GL_n(\mathbb{C}) \ar[r]^-{\det}& \mathbb{C}^\times \ar[r]& 1}$
est une suite exacte (triviale)
(mais je ne répondais pas cette question tout à l'heure et malgré mon oublie (l'erreur que j'ai fait) mais au fait est-il vrai que si $f$ n'est pas une injection le morphisme puisse ou non être respecté et là j'ai dit que oui
il suffit d'enlever l'erreur que j'ai fait en oubliant que l'image de $f$ est sur le groupe linéaire général et non sur les complexes par les déterminants de matrices complexes, ça ne change rien au reste
On prend le $\C$-espace vectoriel de dimension $2$ des fonctions $z \mapsto az+b$ avec $a,b \in \C$. On considère l'application linéaire $\Delta : P(z) \mapsto P(z+1)$.
1. Ecrire la matrice de $\Delta$ dans la base $(1,z)$.
2. Calculer son déterminant.
3. Calculer son ordre.
4. Est-ce que cette matrice est dans l'image de $f$.
Je suis un peu con-con des fois :-D
on peut au moins dire que c'est un complexe de chaîne alors ? :-D