Sylow de $\text{GL}_3(\mathbb{F}_2)$

Hum, je dois réfléchir un peu plus quand même car si on généralise ce que tu as fait avec "$n=3$ quelconque" et $p$ quelconque premier. J'ai l'impression que ce que tu as fait montre que le nombre de $p$-Sylow est divisible par le nombre d'hyperplan projectif de $\mathbb{P}^{n-1}$.

Faut je reprenne au calme car j'ai l'impression que le nombre de $p$-Sylow est divisible par le nombre de sous-espace projectif de dimension $m$ de $\mathbb{P}^{n-1}$ pour tout $m$ entre $1$ et $n-1$. Il y a quelques petits dénombrement à faire et je même que je me suis un peu mélangé les pinceaux :-D

Je refixe les notations. Soit $p$ un premier, $n$ un entier. On nonte $G := \text{GL}_n(\mathbb{F}_p)$. Je note $\mathcal{P}$ l'ensemble des $p$-Sylow de $G$.

1. On a une action transitive de $G$ sur $\mathcal{P}$ par conjugaison.
2. On a un $p$-Sylow standard qui est l'ensemble des matrices uni-triangulaire i.e triangulaire supérieur avec des $1$ sur la diagonale.
3. On va noté $\mathcal{D}$ l'ensemble des drapeaux i.e les familles $(V_i)_{i \in \{0, \dots,n\}}$ croissante de sous-espaces vectoriel de $\mathbb{F}_p^n$ tel que $\text{Dim}(V_i) = i$.
4. On a une action naturelle de $G$ sur l'ensemble des drapeaux.

Là je veux faire le lien entre $p$-Sylow et drapeau, en faisant vite je me suis dit qu'il y a une bijection entre les deux ensembles et en fait mieux c'est une bijection de $G$-ensemble ! Mais je pense avoir était un peu vite.

5. A chaque $p$-Sylow $P$ on peux lui associer un drapeaux en posant : (je pense que ça marche)
$$V_k := \bigcap_{g \in P} \text{Ker} (g-\text{Id})^k$$

6. A chaque drapeaux on peut associer un $p$-Sylow ... là j'ai bugger !!!

Par contre, j'ai un petit truc qui me fait dire que ça doit fonctionner ... le normalisateur du Sylow standard est les triangulaires inversibles et donc on a : (action transitive et calcul du cardinal du normalisateur).
$$
\# \mathcal{P} = \frac{\# G}{(p-1)^n(p^{\frac{n(n-1)}{2}})}
$$
A droite c'est exactement le cardinal de la variété de drapeaux (si je lis bien)... je renvoie à un livre (je ne sais pas si tu connais) histoire hédoniste de groupe et de géométrie page 251 et la formule est donnée fin de la preuve :-D

Ensuite si on y croit on a un joli $G$-isomorphisme et le truc c'est que avec les drapeaux on va pouvoir oublier un peu de structure ! Par exemple comme tu as fait, on regarde uniquement $V_1$.

Mais je pense qu'on doit avoir un $G$-morphisme de la variété de drapeaux vers une Grassmannienne $\mathcal{D}_n \to \text{Gr}_{m,n}$ qui a un drapeaux $(V_k)$ associe l'espace vectoriel $V_m$ et comme les actions sont transitives on a que le cardinal d'une Grassmannienne divise le nombre de $p$-Sylow.

Mais bon dans tous les cas la proposition 1.1 page 250 fait la total .... Mais je suis vraiment con ...la proposition 1.4 page 254 (toujours du même livre) fait le lien entre Sylow et Drapeaux. Grr des fois il faut juste tourner une page :-D

Ok pour les drapeaux de l'espace quotient. A vrai dire j'avais pas trop d'idée en tête quand j'ai mis ce petit exercice, c'était juste un petit truc au cas où quelqu'un avait envie de faire joujou avec des petites matrices :-D

MAIS MAIS MAIS, c'est très très rigolo cette histoire. J'ai regardé le tome $2$ :-D

Alors j'ai pas lu mais ça a l'air vraiment vraiment amusant.

1. On va définir le coefficient binomial quantique $\left[ \frac{n}{m} \right]_q := \# \text{Gr}_{m,n}(\mathbb{F}_q)$
2. Il y a une formule du binôme quantique :
$$
\sum_{m = 0}^n \left[ \frac{n}{m} \right]_q q^{\frac{m(m+1)}{2}} t^m = \prod_{i=1}^n (1+q^i t)
$$
3. la formule du triple produit de Jacobi !!!!!!

Bon j'ai un peu de lecture maintenant, y'a l'air d'avoir un exercice super amusant "convolution de Hall ... "