Application linéaire injective
Bonsoir,
Soit $f\in\mathcal L(E,F)$. Il y a un point qui me bloque dans la démonstration de l'équivalence suivante :
1) $f$ est injective ;
2) L'image de toute famille libre de $E$ est une famille libre de $F$.
1) $\implies$ 2), pas de problème.
2) $\implies$ 1), j'y arrive mais j'ai l'impression que c'est pas la manière la plus maline car j'utilise l'axiome du choix :
Soit $x\in E$ tel que $f(x)=0_F$ (*). Il existe au moins une base $(e_i)_{i\in I}$ de $E$ (axiome du choix), qui est en particulier une famille libre, dans laquelle on écrit $x$ puis avec la condition (*) on obtient $x=0_E$, d'où 1).
Comment faire sans ?
Soit $f\in\mathcal L(E,F)$. Il y a un point qui me bloque dans la démonstration de l'équivalence suivante :
1) $f$ est injective ;
2) L'image de toute famille libre de $E$ est une famille libre de $F$.
1) $\implies$ 2), pas de problème.
2) $\implies$ 1), j'y arrive mais j'ai l'impression que c'est pas la manière la plus maline car j'utilise l'axiome du choix :
Soit $x\in E$ tel que $f(x)=0_F$ (*). Il existe au moins une base $(e_i)_{i\in I}$ de $E$ (axiome du choix), qui est en particulier une famille libre, dans laquelle on écrit $x$ puis avec la condition (*) on obtient $x=0_E$, d'où 1).
Comment faire sans ?
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Réponses
Si $x\neq 0_E$ alors $(x)$ est libre de $E$ donc $(f(x))$ est libre de $F$, contredisant $f(x)=0_F$. Merci !