$\mathbb{R}^3$ en groupe non-abélien
Réponses
-
Oui, plein ! Voici un exemple naturel, le groupe de Heisenberg : $(x,y,z)*(x',y',z')=(x+x',y+y',xy'+z+z')$.
Moins naturel : choisis un groupe qui a le cardinal du continu, par exemple le groupe des matrices $\mathrm{GL}_{42}(\C)$ des matrices complexes carrées $42\times42$ inversibles ; choisis une bijection $f:\mathrm{GL}_{42}(\C)\to\R^3$ ; pose, pour $v,v'\in\R^3$ : $v*v'=f\bigl(f^{-1}(v)f^{-1}(v')\bigr)$. -
Salut. Il y a effectivement beaucoup de lois "barbares" sur R^3. Par contre, si on impose que la loi soit continue, il ne doit plus y avoir tellement de choix non (à isomorphisme près) ?
-
Pourquoi cette question L2M, tu as des idées derrières la tête avec les quarternions ?
-
@Namiswan: en fait ça ne restreint pas tant que ça: dès lors qu'on a un morphisme non trivial continu $\R \to GL(\R^2)$ (on pourrait mettre plus généralement $\mathrm{Aut}(\R^2)$ muni de la topologie compact-ouverts mais j'ai la flemme de vérifier les détails), c'est-à-dire un sous-groupe à un paramètre essentiellement, on a un produit semi-direct $\R^2 \rtimes \R$ qui est un groupe topologique d'ensemble sous-jacent $\R^3$, et comme il y a plein de tels morphismes différents, ça donne beaucoup de groupes topologiques non commutatifs qui, je pense, seront non isomorphes (en fait si le morphisme est différentiable, ce sera même des groupes de Lie). J'avoue que j'ai pas vérifié qu'ils étaient non isomorphes par contre
(mais $t\mapsto \begin{pmatrix}
1 & t \\
0 & 1
\end{pmatrix}$, $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{-t}
\end{pmatrix}$ et $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{t}
\end{pmatrix}$ devraient en donner des différents, j'imagine) -
@Maxtimax : un exemple qui généraliser l'addition dans $\mathbb{R}$ ? (j'ai rectifié mon dernier message)
@moduloP : oui, je dois définir une loi $\fbox{+}$ non commutative sur les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ qui généralise l'addition dans $\mathbb{R}$ et qui vérifie ceci : Soient $q=e^{\alpha u}$ et $p=e^{\beta v}$ deux quaternions unitaires sous leurs formes expoenentielles.
$$qp=e^{\alpha u}e^{\beta v}=e^{\beta v \fbox{+}\alpha u}$$ -
Namiswan a écrit:Il y a effectivement beaucoup de lois "barbares" sur $\R^3$. Par contre, si on impose que la loi est continue, il doit plus y avoir tellement de choix non (à isomorphisme près) ?
-
En effet : toute loi continue est automatiquement $C^\infty$
Intéressant. Comment ceci se montre t-il? -
@Namiswan : je ne sais pas comment ça se démontre, mais il s'agit du cinquième problème de Hilbert : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cinquième_problème_de_Hilbert
-
Je ne sais pas non plus comment ça se démontre. En échange, je donne un résultat compréhensible qui est un peu de même nature : tout morphisme de groupe continu $\R\to\C^*$ ou $\R\to\mathrm{GL}_n(\C)$ est analytique (en fait, il est de la forme $t\mapsto\exp(tA)$ pour $A$ fixé).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres