Oui, plein ! Voici un exemple naturel, le groupe de Heisenberg : $(x,y,z)*(x',y',z')=(x+x',y+y',xy'+z+z')$.
Moins naturel : choisis un groupe qui a le cardinal du continu, par exemple le groupe des matrices $\mathrm{GL}_{42}(\C)$ des matrices complexes carrées $42\times42$ inversibles ; choisis une bijection $f:\mathrm{GL}_{42}(\C)\to\R^3$ ; pose, pour $v,v'\in\R^3$ : $v*v'=f\bigl(f^{-1}(v)f^{-1}(v')\bigr)$.
Salut. Il y a effectivement beaucoup de lois "barbares" sur R^3. Par contre, si on impose que la loi soit continue, il ne doit plus y avoir tellement de choix non (à isomorphisme près) ?
@Namiswan: en fait ça ne restreint pas tant que ça: dès lors qu'on a un morphisme non trivial continu $\R \to GL(\R^2)$ (on pourrait mettre plus généralement $\mathrm{Aut}(\R^2)$ muni de la topologie compact-ouverts mais j'ai la flemme de vérifier les détails), c'est-à-dire un sous-groupe à un paramètre essentiellement, on a un produit semi-direct $\R^2 \rtimes \R$ qui est un groupe topologique d'ensemble sous-jacent $\R^3$, et comme il y a plein de tels morphismes différents, ça donne beaucoup de groupes topologiques non commutatifs qui, je pense, seront non isomorphes (en fait si le morphisme est différentiable, ce sera même des groupes de Lie). J'avoue que j'ai pas vérifié qu'ils étaient non isomorphes par contre
(mais $t\mapsto \begin{pmatrix}
1 & t \\
0 & 1
\end{pmatrix}$, $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{-t}
\end{pmatrix}$ et $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{t}
\end{pmatrix}$ devraient en donner des différents, j'imagine)
@Maxtimax : un exemple qui généraliser l'addition dans $\mathbb{R}$ ? (j'ai rectifié mon dernier message)
@moduloP : oui, je dois définir une loi $\fbox{+}$ non commutative sur les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ qui généralise l'addition dans $\mathbb{R}$ et qui vérifie ceci : Soient $q=e^{\alpha u}$ et $p=e^{\beta v}$ deux quaternions unitaires sous leurs formes expoenentielles.
$$qp=e^{\alpha u}e^{\beta v}=e^{\beta v \fbox{+}\alpha u}$$
@L2M : Donc généraliser l'addition dans $\R$ c'est $(a,0,0,)\times (b,0,0) = (a+b,0,0)$ ? Si oui, mon exemple fonctionne, en renversant simplement $\R^2\rtimes \R$ en $\R\ltimes \R^2$
Il y a effectivement beaucoup de lois "barbares" sur $\R^3$. Par contre, si on impose que la loi est continue, il doit plus y avoir tellement de choix non (à isomorphisme près) ?
En effet : toute loi continue est automatiquement $C^\infty$ et on a donc une algèbre de Lie associée. En dimension $3$ sur $\R$, il n'y en a plus guère, cf. par exemple la thèse d'Angela Gammella (p. 62). Reste à voir lesquelles passent à un groupe sur $\R^3$...
Je ne sais pas non plus comment ça se démontre. En échange, je donne un résultat compréhensible qui est un peu de même nature : tout morphisme de groupe continu $\R\to\C^*$ ou $\R\to\mathrm{GL}_n(\C)$ est analytique (en fait, il est de la forme $t\mapsto\exp(tA)$ pour $A$ fixé).
Réponses
Moins naturel : choisis un groupe qui a le cardinal du continu, par exemple le groupe des matrices $\mathrm{GL}_{42}(\C)$ des matrices complexes carrées $42\times42$ inversibles ; choisis une bijection $f:\mathrm{GL}_{42}(\C)\to\R^3$ ; pose, pour $v,v'\in\R^3$ : $v*v'=f\bigl(f^{-1}(v)f^{-1}(v')\bigr)$.
Et si on impose à cette loi de généraliser l'addition dans $\mathbb{R}^2$ ? dans $\mathbb{R}$.
Le premier exemple de @Math Coss en est un exemple.
@L2M : généraliser l'addition = $(x,y,0)(a,b,0) = ((x,y)+(a,b), 0)$ par exemple ?
(mais $t\mapsto \begin{pmatrix}
1 & t \\
0 & 1
\end{pmatrix}$, $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{-t}
\end{pmatrix}$ et $t\mapsto \begin{pmatrix}
e^t & 0 \\
0 & e^{t}
\end{pmatrix}$ devraient en donner des différents, j'imagine)
@moduloP : oui, je dois définir une loi $\fbox{+}$ non commutative sur les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ qui généralise l'addition dans $\mathbb{R}$ et qui vérifie ceci : Soient $q=e^{\alpha u}$ et $p=e^{\beta v}$ deux quaternions unitaires sous leurs formes expoenentielles.
$$qp=e^{\alpha u}e^{\beta v}=e^{\beta v \fbox{+}\alpha u}$$
Intéressant. Comment ceci se montre t-il?