Équivalence de catégories

Je n'ai pas (encore ?) de réponses à tes questions, mais je pense que les réponses aux trois sont non.
Pour la première, en effet, si on a un anneau vraiment asymétrique (par exemple $k[X,Y]/(X^{45}Y-1)$, où $k[X,Y]$ est l'algèbre non commutative libre sur $2$ éléments) on peut imaginer que cette asymétrie va se retranscrire au niveau des modules. Seulement les deux catégories sont abéliennes et donc il faut travailler sur des propriétés spécifiques à l'anneau et pas "catégoriques générales" pour obtenir la non équivalence.

Pour la deuxième, je pense que la raison pour laquelle je ne trouve pas de contrexemples est que je suis trop habitué aux anneaux commutatifs et que mes anneaux non commutatifs de référence sont isomorphes à leur opposé ($kG$ pour $k$ un anneau et $G$ un groupe, $M_n(R)$ pour $R$ un anneau; eux ont une telle "inversion"). Je pense que $k[X,Y]/(X^2Y-1)$ ou quelque chose dans ce goût-là devrait être un contrexemple mais je n'arrive pas à prouver que $PQ^2-1 =0$ n'a pas de solution dedans.

Pour la troisième, je dirais que non parce qu'on connait beaucoup d'anneaux Morita-équivalents non isomorphes, et j'ai l'impression que $A$ peut être vraiment très différent de $A^{op}$ en général.

Mais on ferait mieux d'attendre que quelqu'un qui s'y connait en algèbre non commutative nous en dise plus :-D