Théorème du rang pour les groupes
Bonsoir,
Par le 1er théorème d'isomorphisme, pour tout groupe fini $G$ et $f \in Hom(G)$ on a $|G| = |\ker f|\times |\mathrm{im\;}f|$ où $|\cdot|$ désigne le cardinal.
Pourquoi ce résultat ne figure pas dans le cours de sup/spé ? Puisque il est a priori aussi puissant que le théorème du rang en algèbre linéaire.
Par le 1er théorème d'isomorphisme, pour tout groupe fini $G$ et $f \in Hom(G)$ on a $|G| = |\ker f|\times |\mathrm{im\;}f|$ où $|\cdot|$ désigne le cardinal.
Pourquoi ce résultat ne figure pas dans le cours de sup/spé ? Puisque il est a priori aussi puissant que le théorème du rang en algèbre linéaire.
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Réponses
De même le 1er théorème d'isomorphisme parle de quotients, notion évitée par le programme, pour une raison qui m'échappe (elle simplifie tellement la vie !)
Ce n'est pas très étonnant sachant que l'on peut prouver le théorème du rang via le premier théorème d'isomorphisme pour les espaces vectoriels. On peut aussi dire, pour éviter le recours aux quotients, qu'une application linéaire induit un isomorphisme d'un supplémentaire de son noyau vers son image.
Comment tu fais pour prouver le théorème du rang à partir du premier théorème d'isomorphisme ?
Un autre lien : Théorème de factorisation
D'après le premier théorème d'isomorphisme (version espaces vectoriels), on a, avec les notations habituelles $E/Kerf\simeq Imf$. Puis on passe aux dimensions : $dim(E)-dim(Kerf)=dim(Imf)$.
@Dom : oui effectivement Wiki dit ça ... par contre il renvoi à Lang Algebra , je vais regarder ! Oui, c'est la démonstration en construisant les bases ... du coup je ne suis pas d'accord avec Wiki quand il dit : Une démonstration plus laborieuse :-D
Edit : je répondais à moduloP.
Désolé, j'ai mis un peu de temps à comprendre ta question. Démontrer la formule pour la dimension d'un quotient ou le théorème du rang, c'est la même chose au fond, tu as raison.
Avec le Tableau Blanc Interactif (:-D) :
Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $(e_1,\dots,e_n)$ de l'espace $E$. Soit $\pi:E\longrightarrow E/F$ la surjection canonique. La famille $(\pi(e_{p+1}),\dots,\pi(e_n))$ est une base de $E/F$ (c'est une famille génératrice grâce à la surjectivité de $\pi$ et on vérifie qu'elle est libre).