Doutes sous quasi-groupe

Bonjour
Excusez moi mais pour les problèmes d'un truc en géométrie je me suis retrouvé obligé de devoir être certain d'un truc concernant les quasi-groupes, alors j'ai donc été obligé de faire une démonstration d'un théorème et accompagnée de la démonstration d'un lemme.
Le problème est que bien que convaincu de son exactitude je souhaiterais quand même l'avis d'un professionnel (bénévole) (je ne le suis pas, je fais juste un peu de maths comme ça).
Merci d'avance pour détecter ce qui est faux dans ma démonstration.
Pour éviter de devoir expliquer ultérieurement ce que j’entends par tel ou tel terme, je définis tout je détail, tout même si c'est plus long à écrire mais ça évite de devoir poster quelque chose que j'aurais pu dire dès le premier post.
Définition (car je ne sais pas si officiellement cette définition est partagée par tous, à part le wiki mon livre de J.Lelong-Ferrand & Arnaudiès n'en parle pas)
On appelle quasi-groupe un magma qui possède un élément neutre et tel que d'une part tout élément de ce magma possède un élément symétrique et d'autre part tout élément de ce magma est régulier

Soit $Q$ un quasi-groupe noté multiplicativement et $P$ une partie non vide de $Q$,
on dit que $P$ est un sous-quasi- groupe de $Q$ si d'une part $P$ est stable et si d'autre part $\forall x\in P,\ x^{-1}\in P$.

lemme : si $P$ est un sous-quasi-groupe d'un quasi-groupe $Q$ alors
$\forall a\in P,\ \forall b\in P,\ ab^{-1}\in P$
effectivement puisque $b^{-1}\in P$ et $P$ est stable de sorte que
$a\in P,\ b^{-1}\in P,\ ab^{-1}\in P$

théorème:
L'intersection d'une famille de sous-quasi-groupes $R_i,i\in I$ d'un quasi-groupe $Q$ est un quasi-groupe $P$ de $Q$.
Effectivement, soit $P=\cap_{i\in I}R_i$ \begin{align*}
\left( a\in P,~b\in P \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right)\\
\left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) & \Rightarrow \left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right) \\
\left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right)&\Rightarrow \left(ab\in P,~a^{-1}\in P,~b^{-1}\in P \right)
\end{align*}