Doutes sous quasi-groupe
Bonjour
Excusez moi mais pour les problèmes d'un truc en géométrie je me suis retrouvé obligé de devoir être certain d'un truc concernant les quasi-groupes, alors j'ai donc été obligé de faire une démonstration d'un théorème et accompagnée de la démonstration d'un lemme.
Le problème est que bien que convaincu de son exactitude je souhaiterais quand même l'avis d'un professionnel (bénévole) (je ne le suis pas, je fais juste un peu de maths comme ça).
Merci d'avance pour détecter ce qui est faux dans ma démonstration.
Pour éviter de devoir expliquer ultérieurement ce que j’entends par tel ou tel terme, je définis tout je détail, tout même si c'est plus long à écrire mais ça évite de devoir poster quelque chose que j'aurais pu dire dès le premier post.
Définition (car je ne sais pas si officiellement cette définition est partagée par tous, à part le wiki mon livre de J.Lelong-Ferrand & Arnaudiès n'en parle pas)
On appelle quasi-groupe un magma qui possède un élément neutre et tel que d'une part tout élément de ce magma possède un élément symétrique et d'autre part tout élément de ce magma est régulier
Soit $Q$ un quasi-groupe noté multiplicativement et $P$ une partie non vide de $Q$,
on dit que $P$ est un sous-quasi- groupe de $Q$ si d'une part $P$ est stable et si d'autre part $\forall x\in P,\ x^{-1}\in P$.
lemme : si $P$ est un sous-quasi-groupe d'un quasi-groupe $Q$ alors
$\forall a\in P,\ \forall b\in P,\ ab^{-1}\in P$
effectivement puisque $b^{-1}\in P$ et $P$ est stable de sorte que
$a\in P,\ b^{-1}\in P,\ ab^{-1}\in P$
théorème:
L'intersection d'une famille de sous-quasi-groupes $R_i,i\in I$ d'un quasi-groupe $Q$ est un quasi-groupe $P$ de $Q$.
Effectivement, soit $P=\cap_{i\in I}R_i$ \begin{align*}
\left( a\in P,~b\in P \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right)\\
\left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) & \Rightarrow \left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right) \\
\left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right)&\Rightarrow \left(ab\in P,~a^{-1}\in P,~b^{-1}\in P \right)
\end{align*}
Excusez moi mais pour les problèmes d'un truc en géométrie je me suis retrouvé obligé de devoir être certain d'un truc concernant les quasi-groupes, alors j'ai donc été obligé de faire une démonstration d'un théorème et accompagnée de la démonstration d'un lemme.
Le problème est que bien que convaincu de son exactitude je souhaiterais quand même l'avis d'un professionnel (bénévole) (je ne le suis pas, je fais juste un peu de maths comme ça).
Merci d'avance pour détecter ce qui est faux dans ma démonstration.
Pour éviter de devoir expliquer ultérieurement ce que j’entends par tel ou tel terme, je définis tout je détail, tout même si c'est plus long à écrire mais ça évite de devoir poster quelque chose que j'aurais pu dire dès le premier post.
Définition (car je ne sais pas si officiellement cette définition est partagée par tous, à part le wiki mon livre de J.Lelong-Ferrand & Arnaudiès n'en parle pas)
On appelle quasi-groupe un magma qui possède un élément neutre et tel que d'une part tout élément de ce magma possède un élément symétrique et d'autre part tout élément de ce magma est régulier
Soit $Q$ un quasi-groupe noté multiplicativement et $P$ une partie non vide de $Q$,
on dit que $P$ est un sous-quasi- groupe de $Q$ si d'une part $P$ est stable et si d'autre part $\forall x\in P,\ x^{-1}\in P$.
lemme : si $P$ est un sous-quasi-groupe d'un quasi-groupe $Q$ alors
$\forall a\in P,\ \forall b\in P,\ ab^{-1}\in P$
effectivement puisque $b^{-1}\in P$ et $P$ est stable de sorte que
$a\in P,\ b^{-1}\in P,\ ab^{-1}\in P$
théorème:
L'intersection d'une famille de sous-quasi-groupes $R_i,i\in I$ d'un quasi-groupe $Q$ est un quasi-groupe $P$ de $Q$.
Effectivement, soit $P=\cap_{i\in I}R_i$ \begin{align*}
\left( a\in P,~b\in P \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~a\in R_i,~b\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right)\\
\left(\forall i\in I,~a^{-1}\in R_i,~b^{-1}\in R_i \right) &\Rightarrow \left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I,~ab^{-1}\in R_i \right)&\Rightarrow \left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) \\
\left(\forall i\in I, ~a^{-1}b\in R_i \right) & \Rightarrow \left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right) \\
\left( ab^{-1}\in P,~a^{-1}b\in P \right)&\Rightarrow \left(ab\in P,~a^{-1}\in P,~b^{-1}\in P \right)
\end{align*}
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Réponses
Je sais que mon système d'implications est mal foutu
si ce que j'ai dit est exact il faudrait que je place tout sur une même phrase avec un jeu de parenthèses englobantes
mais comme la phrase serait trop longue
je ne sais pas faire en sorte d'avoir un jeu de parenthèses ouvrantes puis passer à la ligne avec $
et reprendre la phrase dans laquelle on retrouvera les parenthèses fermantes mais bon ayant dit cela voilà ma phrase sera exacte syntaxiquement cependant là je ne sais pas si mathématiquement c'est vrai et c'est la raison de ce fil
Je suppose donc que la définition que j'ai écrite des quasi groupes est partagée par la communauté
bon après de savoir que ce que j'ai prétendu est vrai ça me sert pour un truc (le cas général je ne le rencontrerai peut être mais pas tout de suite)
bon après j'ai utilisé le lemme dans ma démo, je suis donc obligé de l'écrire sur mon cahier pour ce bidule
eh bien merci et je te souhaite une bonne journée
sujet résolu!