Le Rubik's Cube

totem · July 2018

Bonjour,
pour dénombrer le nombre de combinaisons possibles du Rubik's Cube, il est dit ceci :

Il y a deux orientations possibles pour chacune des 12 arêtes. Étant donné qu’on ne peut pas changer l’orientation d’une arête seule, l’orientation de toutes les arêtes fixe l’orientation de la dernière. Cela donne 2¹¹ possibilités d’orientation des arêtes.
Il y a trois orientations possibles pour chacun des 8 coins. De même, on ne peut pas retourner un coin seul, l’orientation du dernier coin est donc fixée par les autres. Cela donne 3⁷ possibilités d’orientation de coins.
Les arêtes peuvent s’interchanger entre elles, ce qui donne 12 ! possibilités de positionnements pour les arêtes.
Les coins peuvent s’interchanger entre eux. Cela fait 8 ! possibilités.
Mais il existe un problème dit de parité : on ne peut échanger juste deux coins ou deux arêtes (mais on peut interchanger deux coins ET deux arêtes). La position des arêtes et des premiers coins fixe donc la position des deux derniers coins et il faut donc diviser le résultat par deux.
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube#cite_note-12

Qu'entend-on par "deux orientations possibles des arêtes" ? Et par "les arêtes peuvent s'interchanger entre elles" ?
Dès lors que le cube peut tourner dans l'espace, cela doit restreindre le nombre de possibilités ? ( un peu comme en chimie avec les isomères des molécules).
Merci.

YvesM · July 2018

Bonjour,

Une arête est une pièce du cube qui possède deux faces. Par exemple : une face bleue et une face blanche. On a donc deux orientations possibles : bleu/ blanc et blanc/ bleu.
Mais si tout le cube est fait sauf cette arête, c’est que le cube est faussé.
Non ?

totem · July 2018

Mais 2 orientations par rapport à quoi ? le cube peut tourner librement dans l'espace donc les orientations sont parfaitement interchangeables...mais je crois que quelque chose m'échappe dans ce problème de dénombrement !

Que veux-tu dire par faussé ? il n'existe pas dans la nature :-)?

YvesM · July 2018

Bonjour,

Tu a lu mon message ? Tu n’as pas compris ce qu’est une arête ? Son orientation ? Relis mon message.
Un ajout : le cube ne bouge pas. Il est devant toi posé sur une table. Et tu comptes.
Un cube faussé existe, mais il est faussé. Comme une pièce de monnaie avec deux faces.

totem · July 2018

Oui ok je crois que j'ai compris. Et comment comprends-tu "les arêtes peuvent s'interchanger entre elles" ? et pourquoi cela implique-t-il 12 ! possibilités ?

GaBuZoMeu · July 2018

Parce que 12! est le nombre des permutations des 12 cubes arêtes.

totem · July 2018

Oui je me doutais bien qu'il y avait là-dessous une affaire de permutations (tiens ça me rappelle le groupe symétrique S₁₂), mais j'ai bloqué sur le terme "s'interchanger entre elles" .

YvesM · July 2018

Bonjour,

As-tu déjà vu un Rubik’s cube ?
L’arête bleue/ blanche peut être bougée pour aller à la place d’une autre arête. Elle peut se retrouver dans n’importe laquelle des 12 arêtes. Et on a 12! permutation possible parmi 12 objets : on a 12 possibilités pour placer le premier objet, il reste 11 possibilités pour placer le deuxième objet, ..., il ne reste qu’une place pour placer le dernier objet.

GaBuZoMeu · July 2018

Ça veut dire qu'il est possible de réaliser une transposition de deux cubes arêtes. Et comme les transpositions engendrent le groupe des permutations ...

totem · July 2018

J'en ai un sous les yeux ! :-) c'est une chose de le manipuler...

Math Coss · July 2018

Un peu de lecture sur le sujet.

totem · July 2018

@Mathcosss: merci !

Pourquoi le groupe de retournement des coins (= sommets du cube) est isomorphe à Z / 3Z et non pas Z / 4Z ? on tourne d'un quart de tour à chaque fois...?

GaBuZoMeu · July 2018

Si un cube sommet revient au même sommet après mouvement du Rubik's cube, il peut revenir dans trois orientations correspondant au groupe de rotations d'ordre 3 autour de l'axe joignant deux sommets opposés. Regarde l'image du milieu dans la page wikipedia, le cube de sommet avec faces bleu-blanc-rouge ; il peut revenir en orientation bleu-blanc-rouge (même orientation), rouge-bleu-blanc (un tiers de tour), blanc-rouge-bleu (un tiers de tour dans l'autre sens).