Somme de la série des 1/(n^2+a)

Tu appliques Plancherel à la série de Fourier de $e^{zx}$ avec $0<x<2\pi$ et tu obtiens $$\pi \coth( \pi z)=z\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+z^2}.$$

@chaurien: Effectivement. https://math.stackexchange.com/questions/845506/series-expansion-of-coth-x-using-the-fourier-transform

J'aimerais bien comprendre un jour comment on fait pour calculer des sommes de série à l'aide des séries de Fourier autrement qu'en jouant au devin. Ca m'a toujours intrigué.

@alea: C'est toujours la meme demi douzaine de series de Fourier a se mettre en memoire.

bonjour

la relation sérielle donnée par notre ami P. est fausse (on le vérifie pour z = 0)

la série originelle proposée par jcomble est en fait (avec th la fonction tangente hyperbolique et a > 0) :

$$\frac{\pi}{2\sqrt{a}.th(\pi\sqrt{a})} - \frac{1}{2a} = \Sigma_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+a}$$

nul besoin de pochettes-surprises pour obtenir ce résultat ni de séries de Fourier

on part du produit infini eulérien (que les élèves des classes prépa connaissent) :

$\frac{sin(\pi.x)}{\pi.x} = (1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2})(1 - \frac{x^2}{3^2})............(1 - \frac{x^2}{n^2}).......$ avec x réel quelconque

si $x$ devient $ix$ il vient :

$\frac{sh(\pi.x)}{\pi.x} = (1 + x^2)(1 + \frac{x^2}{2^2})(1 + \frac{x^2}{3^2})............(1 + \frac{x^2}{n^2}).......$ avec x réel quelconque

en dérivant le logarithme népérien de chaque facteur il vient :

$\frac{\pi}{2x.th(\pi.x)} - \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{2^2 + x^2} + \frac{1}{3^2+ x^2} + ..........+ \frac{1}{n^2 + x^2} +........$

il suffit de faire $x = \sqrt{a}$ pour obtenir le résultat annoncé

cordialement

Bonjour à tous.
J'essaie d'adapter l'argument de Herglotz au cas complexe imaginaire pur, sans parler de prolongement sur $\mathbb{C}$ ni de série de Fourier. Il s'agirait de montrer que la fonction $h$ définie par $\forall x\in\mathbb{R}^*,\;\displaystyle h(x):=\pi\frac{e^{-\pi x}+e^{\pi x}}{e^{-\pi x}-e^{\pi x}}+\frac 1x+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+k^2}$ et $h(0)=0$ est la fonction nulle.
On montre que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$, impaire, et vérifie (en donnant du sens à ces quantités réelles, $h$ n'étant initialement définie que sur $\mathbb{R}$) $\forall x\in\mathbb{R},\; h(x+\mathrm{i})=h(x)$ et $h\left(\frac x2\right)+h\left(\frac{x+\mathrm{i}}2\right)=2h(x)$.
L'argument de Herglotz ne fonctionne alors plus dans ce cadre complexe... comment pourrait-on conclure que $h=0$ ? J'ai essayé des choses itératives, mais sans succès. Avez-vous des idées ?!