Somme de cubes de matrices

Tout simplement car l'ensemble $A$ est $M_{n}(\mathbb{C})$... Une jolie blague

Malheureusement, ce n'est pas vrai...
En revanche, il suffit de montrer que toute matrice de $M_{n}(\mathbb{C})$ est somme de deux matrices inversibles et que toute matrice inversible est la puissance d'une certaine matrice (inversible donc) (bien penser à utiliser la surjectivité de "exp")

etanche a écrit:

l'équation $X^3=Y$ a au moins une solution dans $\mathcal M(n,\mathbb C) $ en effet exponentielle est surjective sur $Y$

Peux-tu détailler ton raisonnement stp ?
Merci.

etanche a édité son dernier message...

Pour Totem, je reprends le raisonnement :

Etanche pose $Y=BC-t.I$. L'exponentielle de matrice étant surjective de $GL_n(\mathbb C)$ sur $GL_n(\mathbb C)$ (l'ensemble des matrices inversibles de taille $n\times n$) et $Y$ étant inversible, il existe une matrice $F$ telle que $\exp(F)=Y$. On en déduit que si $W=\exp(\frac 1 3 . F)$, alors $W^3 = \exp(3.\frac 1 3 .F) =\exp( F)=Y$.
Je te laisse voir pour $t.I$, qui est plus simple.

Tout cela est déjà dans le message de Etanche (je suis trop faible en algèbre pour l'avoir trouvé seul (:D ).
Cordialement.

Heu ...surjective ...

Ah oui ok merci. Cette question en appelle une autre: pourquoi est-ce une surjection et pas une bijection ? à cause des parties imaginaires ?

Je maîtrise l'exponentielle d'une matrice réelle , mais pas complexe...

Pour une matrice diagonalisable , si on a A = PDP^-1, peut-on écrire A^1/3 = PD^1/3P^-1 ?

Je sais que cela marche pour les puissances entières, mais les puissances non entières là...

Ah mais c'est génial ça pour calculer la racine carrée d'une matrice !! ça se dit ça d'ailleurs ?

Oui, comme on dit les racines $n$-èmes d'un nombre complexe.
Il y a un cas où l'on retrouve l'unicité, c'est la racine carrée positive d'une matrice symétrique réelle positive.

Heh question marrante ça ! J'ai un peu réfléchi mais je n'ai pas encore trouvé de réponse complète.

Quelques remarques : Prenons la matrice $\begin{pmatrix}0 &t \\ 0&0\end{pmatrix}$, elle est racine (carrée ou autre) de la matrice nulle pour tout $t$. Sur $\mathbf C$ il n'y a que $n$ racines $n$-ièmes parce que $\C$ est un corps commutatif (donc il y a au plus $n$ racines) et il est algébriquement clos donc il y en a exactement $n$. Par contre $M_k(\C)$ (avec $k>1$, évidemment) n'est ni intègre, ni commutatif donc deux bonnes raisons pour qu'étant donné une matrice $A$ le polynôme $X^2-A$ ait plus que deux racines. Comme je n'ai pas assez l'habitude de faire de l'algèbre dans un anneau non intègre et non commutatif je ne m’intéresserait pas à la multiplicité des racines. Inversement certaines matrices n'ont pas de racines, comme par exemple $\begin{pmatrix}0 &1 \\ 0&0\end{pmatrix}$ (elle est nilpotente d'indice 2, une racine de cette matrice serait nilpotente d'indice $>2$, ce qui est impossible).

Maintenant si $A$ est une matrice est qu'elle admet une racine carrée $B$ alors $-B$ est aussi une racine, pour peu que $B\neq 0$ alors $A$ possède deux racines distinctes. Idem avec les racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbf C$ et les racines $n$-ièmes de matrices : Si $A\neq0$ et que $A$ admet une racine $n$-ième alors elle en admet au moins $n$ distinctes. Les racines $n$-ièmes de $A=0$ sont exactement les matrices nilpotentes d'indice (degré ?) inférieur à $n$ et grâce à Jordan on sait à quoi elle ressemblent.

Le cas diagonalisable : Soit $A\neq 0$ une matrice diagonalisable : $A=P^{-1}DP$. La matrice $D$ admet une racine (il suffit de prendre pour chaque coefficient une des deux racines possibles) qu'on note $\sqrt D$, la matrice $P^{-1}\sqrt D P$ est alors une racine de $A$. Réciproquement, soit $A$ diagonalisable et $B$ une matrice vérifiant $B^2=A$. Les matrices $A$ et $B$ commutent, elles sont donc diagonalisables dans une même base : $B=P^{-t}D'P$ et on a $P^{-1}DP=A=B^2=P^{-1}D'^2P$ et donc $D'^2=D$. En résumé toutes les racines de $A$ sont de la forme $P^{-1}\sqrt DP$ avec $\sqrt D$ une racine de $D$. Ces racines carrées il y en a exactement $2^{\dim \mathrm{Im}(A)}$ différentes (pour chaque valeur propre $\lambda$ non nulle on a le choix entre $\sqrt\lambda$ et $-\sqrt\lambda$). Pour les racines $n$-ièmes c'est la même chose sauf qu'on remplace $\sqrt{\;\;}$ par $\sqrt[n]{\;\;}$ et qu'il y en a $n^{{\dim \mathrm{Im}(A)}}$ différentes. EDIT : en fait ça ne compte que les racines diagonalisables de $A$, il peut y en avoir d'autres...



J'ai essayé rapidement un raisonnement par densité mais ça me semble compliqué d'arriver à quelque chose. J'ai aussi regardé les décompositions de Jordan de blocs de Jordan mis au carré, cela donne une condition suffisante pour qu'une matrice n'ait pas de racine mais je ne sais pas si c'est nécessaire et puis surtout ça ne permet pas de compter les racines quand il y en a.

@ totem
L'exponentielle d'une matrice complexe n'est pas plus compliquée que l'exponentielle d'une matrice réelle.

Chaurien a écrit:

Il y a aussi les matrices qui ont une infinité de racines $n$-èmes.

Témoin l'identité en dimension $3$ (réelle) : toute rotation d'angle $2\pi/n$ en est une racine $n$-ième.