Quand $\text{im}(f^2)=\text{im}(f)$

Bonjour
C'est sûrement simple mais je bloque sur la démonstration de l'implication (l'implication inverse est facile) : $$ \text{im}(f)=\text{im}(f^2)\implies\text{im}(f)+\ker(f)=E
$$ J'ai pensé écrire, pour tout $x\in E,\ x=f(x)+(x-f(x))$, mais je ne parviens pas à justifier que le second membre est dans le noyau de $f$. En effet, même si $\text{im}(f)=\text{im}(f^2)$, rien ne nous dit que $f(x)=f^2 (x)$, si ? Ou alors ça voudrait dire que l'implication $(\{f(t)\mid t\in E\}=\{f^2 (t)\mid t\in E\})\implies (f=f^2)$ est vraie...