Définition d'un plongement ?

Pour les corps, c'est parce qu'un morphisme de corps est automatiquement injectif, donc dans cette situation un plongement

Plus généralement un plongement d'une structure $A$ dans une structure $B$ c'est un morphisme qui est "tel qu'on peut identifier $A$ à une sous-structure de $B$".

Formellement qu'est-ce que ça veut dire ?

Déjà pour des objets purement algébriques, c'est-à-dire uniquement avec des opérations (anneaux, groupes, corps, treillis, etc.) ça revient simplement à dire un morphisme injectif.

Dès qu'on rajoute des objets "moins algébriques" (qui relèvent de la théorie des modèles par exemple) ça devient plus compliqué: typiquement si on regarde les groupes ordonnés, certains morphismes injectifs ne sont pas des plongements: par exemple si on regarde $\Z$ comme groupe ordonné muni de l'ordre trivial : $x\leq y \iff x=y$ alors l'identité est un morphisme injectif vers $\Z$ muni de l'ordre usuel mais n'est pas un plongement (parce qu'on ne peut pas considérer l'ordre trivial comme une sous-structure de l'ordre usuel).

Donc il faut tenir compte de ça, et finalement la définition c'est : si $A,B$ sont des structures de même type (avec les mêmes types de fonctions, de relations), alors une application $f: A\to B$ est un plongement si pour tout symbole de fonction $h$ d'arité $n$, et tout $a_1,...,a_n\in A$, $h^B(f(a_1),...,f(a_n)) = f(h^A(a_1,...,a_n))$ et pour tout symbole de relation $R$ d'arité $n$, $(a_1,...,a_n) \in R^A \iff (f(a_1),...,f(a_n))\in R^B$.

A partir de cette définition (en termes de théorie des modèles) tu peux essayer de formaliser et démontrer l'heuristique "un plongement c'est ce qui permet d'identifier le domaine à une sous-structure du codomaine"