Valeurs propres et sous-matrices
Bonjour
Il est bien connu que les valeurs propres d’une matrice Hermitienne et de sa sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne s’interlacent.
Est-il vrai que pour toute matrice complexe, les valeurs propres d’une sous-matrice obtenue en supprimant une ligne et la colonne correspondante sont dans l’enveloppe convexe des valeurs propres de la matrice initiale ? J’ai l’impression que la propriété serait reliée au théorème de Gauss-Lucas pour les polynômes à coefficients complexes, mais je ne suis même pas certain que la propriété soit vraie en général.
Merci de bien vouloir m’éclairer !
Il est bien connu que les valeurs propres d’une matrice Hermitienne et de sa sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne s’interlacent.
Est-il vrai que pour toute matrice complexe, les valeurs propres d’une sous-matrice obtenue en supprimant une ligne et la colonne correspondante sont dans l’enveloppe convexe des valeurs propres de la matrice initiale ? J’ai l’impression que la propriété serait reliée au théorème de Gauss-Lucas pour les polynômes à coefficients complexes, mais je ne suis même pas certain que la propriété soit vraie en général.
Merci de bien vouloir m’éclairer !
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Réponses
Je vois ce qu'est le quotient de Rayleigh, mais je ne vois pas comment il rend la réponse à ma question positive ou évidente.
J'ai compris ?
$H$ hermitienne.
Edit.
Cela fonctionne dans le cas symétrique ou hermitien, mais ma question portait sur n'importe quelle matrice à coefficients complexes.
Soit $A \in M_{m,n}(\mathbb{C})$, $q= \min(m,n)$ et on note $A_r$ la sous-matrice obtenue en enlevant un total de $r$ lignes et/ou colonnes de $A$. Pour tout entier $k \in \{1,\dotsc,q \}$
$$\sigma_{k+r}(A) \leqslant \sigma_k \left( A_r \right) \leqslant \sigma_k(A).$$
Référence.
R. A. Horn & C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP New-York, 1991, Corollary 3.1.3.
Il ne doit pas être difficile de trouver un contre exemple pour $H$ non normale.
On parle de valeurs propres et juste si une matrice extraite (principale) ait ses v.p dans l'enveloppe convexe de ceux de l'initiale.
Est-il vrai que pour toute matrice carrée à coefficients complexes, les valeurs propres de n'importe quelle sous matrice principale sont contenues dans l'enveloppe convexe des valeurs propres de la grande matrice initiale ?
Merci ! J’aurais dû chercher un contrexemple de taille 2 dès le début.
En conclusion: La propriété est vraie pour toute matrice normale (merci Tonm au passage) mais il existe des matrices non normales qui ne satisfont pas à la propriété.
Y a-t-il une classe un peu plus grande que celle des matrices normales (et qu’on peut décrire simplement) dont tous les éléments satisfont à la propriété initiale ?
Merci !
Je ne m’intéresse pas aux valeurs singulières mais bien aux valeurs propres. La propriété est vérifiée pour des matrices non symétriques mais normales, je me demande donc pour quelle classe plus grande de matrice est-elle aussi assurée.
Merci !
Victor
En dimension 2 il doit y avoir une caractérisation totale ou partielle mais pour dimensions supérieures c'est trop ouvert.
Cordialement
Je faisais néanmoins remarquer que les valeurs singulières "rattrapent" les propriétés des valeurs propres perdues dans le cas général, c'est la raison pour laquelle ces valeurs singulières méritent le détour, à mon sens, surtout qu'elles sont proches des valeurs propres (au sens des inégalités de Weyl).
Moi, j'ai une question stupide : si j’enlève [les] premières ligne et colonne d'une matrice normale (c-à-d qui commute avec son adjoint, ou équivalemment diagonalisable dans une base hermitienne orthonormale), est-ce que ce qui reste est une matrice normale ?