Anneau isomorphe à un anneau de polynômes
Bonsoir
J'essaie de montrer que lorsque on dispose d'un anneau euclidien, qui n'est pas un corps, $A$ de stathme $v$ dans lequel pour tout $a,b \in A,\ b \neq 0$ il existe un unique couple $(q,r) \in A$ tel que $a =bq+r$ et ($r=0$ ou $v(r) < v(b)$) ce dernier est isomorphe à l'algèbre des polynômes sur un certain corps.
La correction dont je dispose propose de poser $k = A^\times \cup \{0\}$ et de vérifier que $A$ est isomorphe en tant qu'anneau à $k[X]$ mais déjà là j'ai un problème si je prends par exemple $\mathbb{Z}$ qui est euclidien lorsque qu'on le munit de la valeur absolue et bien dans ce cas notre "corps" sera $\{-1,0,1\}$ pourtant la stabilité par addition n'est pas du tout vérifiée. du coup j'ai envie de munir cet ensemble de la même structure que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ la ça marcherait mais que dans ce cas particulier mais en général je ne vois pas comment procéder...
J'essaie de montrer que lorsque on dispose d'un anneau euclidien, qui n'est pas un corps, $A$ de stathme $v$ dans lequel pour tout $a,b \in A,\ b \neq 0$ il existe un unique couple $(q,r) \in A$ tel que $a =bq+r$ et ($r=0$ ou $v(r) < v(b)$) ce dernier est isomorphe à l'algèbre des polynômes sur un certain corps.
La correction dont je dispose propose de poser $k = A^\times \cup \{0\}$ et de vérifier que $A$ est isomorphe en tant qu'anneau à $k[X]$ mais déjà là j'ai un problème si je prends par exemple $\mathbb{Z}$ qui est euclidien lorsque qu'on le munit de la valeur absolue et bien dans ce cas notre "corps" sera $\{-1,0,1\}$ pourtant la stabilité par addition n'est pas du tout vérifiée. du coup j'ai envie de munir cet ensemble de la même structure que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ la ça marcherait mais que dans ce cas particulier mais en général je ne vois pas comment procéder...
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Réponses
Je veux dire que pour tout $a,b \in A,\ b \neq 0$ il existe un unique couple $(q,r) \in A$ tel que $a =bq+r$ et ($r=0$ ou $v(r) < v(b)$)