Base de $\mathbf R_n[X]$ donnant Jordan $n+1$
Bonjour,
Soit $n\in\mathbf N^*$ et $D\in\mathcal L(\mathbf R_n[X])$ l'endomorphisme de dérivation défini par : $\forall P\in\mathbf R_n[X],D(P)=P'$. Quelle base $\mathcal B$ de $\mathbf R_n[X]$ prendre pour avoir $\text{Mat}_{\mathcal B}(D)=J_{n+1}$ avec $J_{n+1}$ la matrice de Jordan d'ordre $n+1$ définie ci-dessous ?
En essayant avec la base canonique on obtient une sur-diagonale égale à $(1, 2,\dots,n-1)$ donc j'ai pensé la modifier, mais je ne vois pas comment. En prenant les $\frac{X^k}{k}$, cela ne fait que déplacer le problème... En fait, je vois bien qu'il faut combiner entre les différents éléments de la base pour corriger le facteur qui apparaît, mais en faisant plusieurs essais, je ne parviens pas à obtenir des $1$ uniquement sur la sur-diagonale.
Soit $n\in\mathbf N^*$ et $D\in\mathcal L(\mathbf R_n[X])$ l'endomorphisme de dérivation défini par : $\forall P\in\mathbf R_n[X],D(P)=P'$. Quelle base $\mathcal B$ de $\mathbf R_n[X]$ prendre pour avoir $\text{Mat}_{\mathcal B}(D)=J_{n+1}$ avec $J_{n+1}$ la matrice de Jordan d'ordre $n+1$ définie ci-dessous ?
En essayant avec la base canonique on obtient une sur-diagonale égale à $(1, 2,\dots,n-1)$ donc j'ai pensé la modifier, mais je ne vois pas comment. En prenant les $\frac{X^k}{k}$, cela ne fait que déplacer le problème... En fait, je vois bien qu'il faut combiner entre les différents éléments de la base pour corriger le facteur qui apparaît, mais en faisant plusieurs essais, je ne parviens pas à obtenir des $1$ uniquement sur la sur-diagonale.
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Réponses
Le deuxième a pour dérivée $1$, par exemple $X$.
Le troisième a pour dérivée $X$, par exemple $\frac{X^2}{2}$.
Le quatrième a pour dérivée $\frac{X^2}{2}$, par exemple...
Merci !
Pour $J_{n+1}$ : en $(i,i+1)$ pour $1\leq i < n+1$.
Tu avais un doute ?
Je voulais m'assurer que $J_n$ ne soit pas l'identité. Merci !
> Visiblement, le premier vecteur de base est un polynôme constant, disons $1$.
> Le deuxième a pour dérivée $1$, par exemple $X+1$.
> Le troisième a pour dérivée $X+1$, par exemple $\frac{X^2}{2}+X+1$.
> Le quatrième a pour dérivée $\frac{X^2}{2}+X+1$, par exemple...
Variante :
$\bullet$ $J_0$ est l'unique matrice de $\mathcal{M}_0(\K)$.
$\bullet$ $J_1=(0)$ est la matrice nulle de $\mathcal{M}_1(\K)$.
$\bullet$ $J_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$.
$\bullet$ $J_3=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)$.
Etc.
Par conséquent, quand tu écris Ce n'est pas vrai (tu parles d'une matrice de $\mathcal{M}_n(\K)$ alors que toute matrice de ton endomorphisme est une matrice de $\mathcal{M}_{n+1}(\K)$).
Tu veux écrire : "en essayant avec la base canonique on obtient une sur-diagonale égale à $(1, 2, \ldots, ,n)$".