"Créer" un groupe
Bonjour,
Je voulais savoir s'il y avait une façon de déterminer une opération pour créer un groupe à partir de l'inverse de chaque élément et du domaine de définition des éléments (sur l'ensemble des réels). Je m'explique, je cherche à résoudre un exercice où chaque élément x appartient à l'intervalle $\left]0;1\right[$ et qui possède un inverse défini par : ${x}^{-1}=1-x$.
Merci d'avance.
Je voulais savoir s'il y avait une façon de déterminer une opération pour créer un groupe à partir de l'inverse de chaque élément et du domaine de définition des éléments (sur l'ensemble des réels). Je m'explique, je cherche à résoudre un exercice où chaque élément x appartient à l'intervalle $\left]0;1\right[$ et qui possède un inverse défini par : ${x}^{-1}=1-x$.
Merci d'avance.
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Réponses
Il y a des tonnes de telles $f$: voici un schéma pour en construire : commence par trouver une bijection $h:[0,\frac{1}{2}[\to \R_+$ qui envoie $0$ sur $0$ (il existe même des homéomorphismes, donc là tu as vraiment le choix), définis ensuite $g: ]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}[ \to \R$ par $g(x) = h(x)$ si $x\geq 0$, $g(x) = -h(-x)$ sinon. Il est facile de voir que $g$ est une bijection.
Finalement, $f$ définie sur $]0,1[$ par $f(x) = g(x-\frac{1}{2})$ convient.
Moralité : en général, déterminer $^{-1}$ ne détermine pas la multiplication sur un groupe (alors que la multiplication détermine l'inverse !)
Edit : j'ai écrit ça avant de voir ta dernière réponse