"Créer" un groupe

summation · July 2018

Bonjour,
Je voulais savoir s'il y avait une façon de déterminer une opération pour créer un groupe à partir de l'inverse de chaque élément et du domaine de définition des éléments (sur l'ensemble des réels). Je m'explique, je cherche à résoudre un exercice où chaque élément x appartient à l'intervalle $\left]0;1\right[$ et qui possède un inverse défini par : ${x}^{-1}=1-x$.
Merci d'avance.

Maxtimax · July 2018

A priori il n'y a pas qu'une seule opération de groupe ayant cet inverse. En effet dès lors que $f$ est une bijection $]0,1[ \to \R$ envoyant $\frac{1}{2}$ sur $0$ et symétrique par rapport à $\frac{1}{2}$ ($f(1-x) = -f(x)$) alors on a une opération de groupe associée sur $]0,1[$ qui vérifie $x^{-1} = 1-x$. Cette opération est $x\star y = f^{-1}(f(x)+f(y))$.

Il y a des tonnes de telles $f$: voici un schéma pour en construire : commence par trouver une bijection $h:[0,\frac{1}{2}[\to \R_+$ qui envoie $0$ sur $0$ (il existe même des homéomorphismes, donc là tu as vraiment le choix), définis ensuite $g: ]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}[ \to \R$ par $g(x) = h(x)$ si $x\geq 0$, $g(x) = -h(-x)$ sinon. Il est facile de voir que $g$ est une bijection.

Finalement, $f$ définie sur $]0,1[$ par $f(x) = g(x-\frac{1}{2})$ convient.

Moralité : en général, déterminer $^{-1}$ ne détermine pas la multiplication sur un groupe (alors que la multiplication détermine l'inverse !)

summation · July 2018

Plus généralement, quelle est l'intuition qui doit primer lorsqu'on a un problème de ce type? En connaissant seulement l'inverse. Ne comprenant pas tout ton raisonnement, je me demande si tu pourrais me réexpliquer, ou le faire d'une manière plus simple. S'il te plait

summation · July 2018

Tu utilises $\R$, or je parlais d'un groupe dont tous les éléments $x$ sont dans $\left]0;1\right[$. Désolé si je n'ai pas été clair.

GaBuZoMeu · July 2018

Maxtimax parle bien d'une structure de groupe sur $]0,1[$. Relis son message plus attentivement.

Chaurien · July 2018

Le mieux serait de donner le texte de l'exercice, sans jouer aux devinettes.

summation · July 2018

"Find an operation on the set $(0,1)$ of real numbers $x$, $0<x<1$, which makes $(0,1)$ a group in such a way that the inverse of $x$ is $1-x$."

Maxtimax · July 2018

Je disais en fait qu'en transportant la structure de groupe de $\R$ sur $]0,1[$ avec des bijections satisfaisant une légère contrainte, on obtenait une pléthore de structures de groupe sur $]0,1[$ qui avaient $x\mapsto 1-x$ comme application inverse; et donc que la morale c'était qu'en général l'inverse donne peu d'informations sur la structure de groupe.

Edit : j'ai écrit ça avant de voir ta dernière réponse