Exercice algèbre linéaire
[large][/large]Bonjour à toutes et à tous, je cherche à résoudre l'exercice suivant :
Soit $G$ un sous groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ et soit $F=\bigcap\limits_{g \in G} \ker(g-id)$. Montrer que $Card(G)\times \dim F=\sum\limits_{g\in G} tr(g)$.
Pour cela on introduit l'application $p=\frac{1}{Card(G)}\sum\limits_{g\in G} g$ et on montre que $p$ est un projecteur.
Pour conclure, il s'agit de montrer que $\mathrm{im \,}p = F$. Dans un sens, pas de problème, mais je bloque à l'inclusion $F\supset \mathrm{im \,} p$. Quelqu'un aurait-il une astuce ?
Merci !
Soit $G$ un sous groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ et soit $F=\bigcap\limits_{g \in G} \ker(g-id)$. Montrer que $Card(G)\times \dim F=\sum\limits_{g\in G} tr(g)$.
Pour cela on introduit l'application $p=\frac{1}{Card(G)}\sum\limits_{g\in G} g$ et on montre que $p$ est un projecteur.
Pour conclure, il s'agit de montrer que $\mathrm{im \,}p = F$. Dans un sens, pas de problème, mais je bloque à l'inclusion $F\supset \mathrm{im \,} p$. Quelqu'un aurait-il une astuce ?
Merci !
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Réponses
Pour tous $x\in\mathbb R^n$ et $g_0\in G$,
$$g_0(p(x)) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g_0(g(x)) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{h\in G}h(x) = p(x)$$
en utilisant la bijection $g\mapsto h:=g_0g$ de $G$ dans $G$.
Ceci étant vrai pour tout $g_0\in G$, on a le résultat.
Charte : 4.11 - ne donnez pas la solution des exercices trop vite, mettez sur la piste, suggérez des indices ;
J'ai mal lu le sens de l'inclusion, on dirait et puis je suis à la bourre :-D