Noyaux itérés

Bonjour,

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. On pose, pour tout $k\in\mathbf N, K_k=\ker(u^k)$ et $n_k=\dim\ker(u^k))$. J'ai trouvé une autre démonstration que celle de mon cours du fait suivant : il existe $r\in\mathbf N$ tel que $r\leq n$ et $\lim_{k\to\infty} n_k=r$.
Cette dernière est selon moi beaucoup plus simple et je souhaiterais confirmer que je ne fais pas d'erreur.

Voilà ma preuve : la suite $(K_k)_{k\in\mathbf N}$ étant croissante pour l'inclusion, la suite $(n_k)_{k\in\mathbf N}$ est également croissante. De plus, $(n_k)_{k\in\mathbf N}$ est majorée par $n$ donc converge par limite monotone vers un réel $r\leq n$. Reste à montrer que $r\in\mathbf N$ (ça paraît évident mais bon). Comme $\frac{1}{2}\in\mathbf R_{+}^*$, il existe $N\in\mathbf N$ tel que pour tout $k\in\mathbf N$, on ait $k\geq N\implies |n_k-r|\leq\frac{1}{2}<1$. Or $(n_k)_{k\in\mathbf N}$ est à valeurs dans $\mathbf N$, on a donc en particulier $r\in\mathbf N$.

[$\LaTeX$ fournit les commandes \dim et \ker qui gèrent les espacements. ;-) AD]