Inverse d'une matrice par un endomorphisme

Nounouvch · July 2018

Salut la matrice en question est $\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}$
Dans la base $(1,X)$ de $K[X]$ l'endomorphisme associé est $u(P)=P(X+1)$ et son inverse est $v(P)=P(X-1)$ qui donne la matrice $\begin{pmatrix}1 & -1\\
0& 1\end{pmatrix}$
Ma question est comment on a pu trouver $u$ et $v$ ? Est-ce qu'il faut remplacer $P$ par $1$ et $X$ ?

[Pour décrire une matrice en $\LaTeX$, clic droit sur la matrice > Afficher sous forme > Commandes Tex. AD]

Magnolia · July 2018

Rebonjour

Si ta matrice est $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ il s'agit de l'application identité et ton $u$ est faux.

Pour écrire la matrice de $u$ par rapport à $(1,X)$ on a $u(1)=1$ et $u(X)=1+X$. On écrit les coefficients de ces éléments en colonne, d'où

$M(u)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Nounouvch · July 2018

Je n'arrive pas à calculer les u(1) et les u(X).. est ce que l'expression donnée est une composition ?

Magnolia · July 2018

Si tu prends le polynôme $P(X)=1$, que vaut $u(P(X))$? Si tu prends $Q(X)=X$ que vaut $u(Q(X))$?

Nounouvch · July 2018

Je pourrai avoir si cela ne vous dérange pas la rédaction complète j'en ai vraiment besoin

Magnolia · July 2018

Non, je ne finirai pas l'exercice à ta place, ce n'est pas l'esprit du forum et ça ne te servirait à rien. Relis attentivement ce que j'ai écrit, tu as toutes les indications nécessaires pour finir.

Nounouvch · July 2018

Ce n'est pas vraiment question de le finir à ma place mais pour moi il n'y a que la variable X qui change comment je dois donc incruster cP(X) dans l'expression de u c'est tout ce que je souhaite comprendre. Merci pour tes indications
U(P(X)) = P(P(X) +1)= P(2)?

Magnolia · July 2018

Si $P(X)=1$, (polynôme constant) que vaut $P(X+1)$?

Nounouvch · July 2018

Mercii c'est très clair maintenant !!

Magnolia · July 2018

Très bien! :-)

Nounouvch · July 2018

Si jamais l'endomorphisme n'était pas donné dans l'énoncé est ce qu'on pouvait le construire tout de même en utilisant les polynômes?

Magnolia · July 2018

Tu veux dire en connaissant la matrice? Oui, bien sûr. Tiens je vais le faire pour $v$. Pour $P(X)=aX+b$, on a
$v(P(X))=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a-b\\ b\end{pmatrix}.$ L'image de $P$ est donc $(a-b)\times 1+bX=a\times 1+(b-1) X=P(X-1)$

Je dois partir, mais quelqu'un prendra sûrement ma suite.

Nounouvch · July 2018

J'ai tout compris sauf pour le passage au polynôme pour pouvoir détecter que c'était X-1 ne fallait-il pas avoir une expression de la forme a+b(X-1) ?