Inverse d'une matrice par un endomorphisme
Salut la matrice en question est $\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}$
Dans la base $(1,X)$ de $K[X]$ l'endomorphisme associé est $u(P)=P(X+1)$ et son inverse est $v(P)=P(X-1)$ qui donne la matrice $\begin{pmatrix}1 & -1\\
0& 1\end{pmatrix}$
Ma question est comment on a pu trouver $u$ et $v$ ? Est-ce qu'il faut remplacer $P$ par $1$ et $X$ ?
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0 & 1\end{pmatrix}$
Dans la base $(1,X)$ de $K[X]$ l'endomorphisme associé est $u(P)=P(X+1)$ et son inverse est $v(P)=P(X-1)$ qui donne la matrice $\begin{pmatrix}1 & -1\\
0& 1\end{pmatrix}$
Ma question est comment on a pu trouver $u$ et $v$ ? Est-ce qu'il faut remplacer $P$ par $1$ et $X$ ?
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Réponses
Si ta matrice est $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ il s'agit de l'application identité et ton $u$ est faux.
Pour écrire la matrice de $u$ par rapport à $(1,X)$ on a $u(1)=1$ et $u(X)=1+X$. On écrit les coefficients de ces éléments en colonne, d'où
$M(u)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
U(P(X)) = P(P(X) +1)= P(2)?
$v(P(X))=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a-b\\ b\end{pmatrix}.$ L'image de $P$ est donc $(a-b)\times 1+bX=a\times 1+(b-1) X=P(X-1)$
Je dois partir, mais quelqu'un prendra sûrement ma suite.
Cordialement.