Produit matriciel

Nemya
Nemya
dans Algèbre
Salut
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer on ne peut pas multiplier deux matrices de n'importe quelle taille

Réponses

  • Dom
    Dom
    Sais-tu multiplier deux matrices carrées, disons de taille 2 (deux lignes, deux colonnes) ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je veux bien, si tu commences par expliquer comment on fait pour multiplier, par exemple une matrice $2\times 3$ par une matrice $3\times 2$. Par exemple
    $$\pmatrix{1&2&3\\4&5&6}\pmatrix{7&8\\9&10\\11&12}$$
  • Nemya
    Nemya
    Dom
    Oui je sais le faire Dom

    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Alors explique.
  • Nemya
    Nemya
    GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1688652,1688660#msg-1688660
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

    Tout d'abord le résultat de cette multiplication sera une matrice de taille $2\times 2$ ensuite pour avoir le coefficient de la i ème ligne et la j ème colonne on calcule $\sum_{k=1}^{3}(a_{ik}b_{kj})$
  • Dom
    Dom
    Je note $P$ la matrice qui est égale au produit $\pmatrix{1&2&3\\4&5&6}\pmatrix{7&8\\9&10\\11&12}$, proposée par @GaBuZoMeu

    Je note $Q$ la matrice qui est égale au produit $\pmatrix{1&2\\3&4}\pmatrix{100&200\\300&400}$, deux matrices carrées de taille 2.

    Peux-tu écrire, par exemple, le premier coefficient de $P$ ou de $Q$ ?
    Notons-les respectivement $p_{1,1}$ et $q_{1,1}$.

    Le mieux serait de donner le détail (l'écriture décimale du résultat m'importe peu).

    Je cache mon message pour ne pas interférer (car je vais m'absenter).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Très bien.
    Le produit de matrices se calcule par la méthode "ligne-colonne", c.-à-d. de le coefficient de $AB$ en $i$-ème ligne et $j$-ème colonne s'obtient un multipliant coefficient par coefficient la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$, puis en sommant ces produits (ce que tu as écrit).
    Tu vois donc bien que ce calcul ne peut se faire que si le nombre de coefficients des lignes de $A$ est égal au nombre de coeffcients de colonnes de $B$, c-à-d. que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.

    Maintenant, ta vraie question est peut-être "Pourquoi multiplie-t-on les matrices ainsi ?"
    Réponse à choisir parmi :
    1) Pour embêter les étudiants.
    2) Parce que les matrices servent à représenter des applications linéaires et que le produit "ligne-colonne" permet de calculer l'image d'un vecteur par une application linéaire ou la composée de deux applications linéaires.
  • Nemya
    Nemya
    Merci GaBuZouMeu pour ta réponse pour ta question je pense que la 1 ère réponse est peu probable mais pour 2 ème réponse je ne pense pas pouvoir la comprendre car je débute en algèbre linéaire
  • gerard0
    gerard0
    [Edit : Corrigé grâce aux bons conseils de GaBuZoMeu]

    Tu peux comprendre ce qui se passe avec simplement les changements de coordonnées :
    $\begin {cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy \end {cases}$
    tu repères la matrice du changement, $A=\pmatrix{a&b\\c&d}$ ?
    Maintenant un deuxième en succession :
    $\begin {cases}x"=ex'+fy'\\y"=gx'+hy' \end {cases}$
    de matrice $B$ (je te laisse l'écrire). Calcule $BA$ avec la règle, puis calcule le changement global :
    $\begin {cases}x"=...x+...y\\y"=...x+...y \end {cases}$

    Cordialement.
  • Nemya
    Nemya
    Merci Gerard0 pour ta fructueuse participation.
    D'abord on a $B=\pmatrix{e&f\\g&h}$
    et $\begin {cases}x"=(ae+cf)x+(be+df)y\\y"=(ag+ch)x+(bg+dh)y \end {cases}$ donc: $BA=\pmatrix{ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh}$ et en effectuant le produit on trouve le meme résultat alors si j'ai bien compris pour effectuer un produit de deux matrices AB on doit tout d'abord effectuer un changement on utilisant les coefficients de la matrice B puis un autre avec les coefficient de A et on déduire les coefficients de la matrice produit
  • gerard0
    gerard0
    Voilà !

    Tu as sur un exemple, comment sert le produit matriciel.
    L'origine du calcul matriciel est dans les travaux de Cayley sur les transformations linéaires (ce qu'on appelle maintenant, dans un cadre plus général) les applications linéaires. Et Cayley était persuadé que ça n'aurait pas d'applications pratiques, ce en quoi il se trompait.
    Il est possible d'utiliser d'autres "produits" de matrices, par exemple la multiplication terme à terme de matrices de même taille (produit de Hadamard), mais on perd le lien avec l'algèbre linéaire.

    Cordialement.
  • Nemya
    Nemya
    Merci infiniment gerard0
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