Irréductibilité de $X^n+1$ sur $\mathbb Z$

Snair
Snair
dans Algèbre
Bonjours.
Je cherche à déterminer les entiers naturels $n$ pour les queles le polynôme $X^n+1$ est irréductible sur $\mathbb Z$.

En utilisant la critère d'Eisenstein, pour tout nombre premier $p$, $X^p+1$ est irréductible sur $\mathbb Z$. Mais pour les autres entiers ? Est-ce que ce polynôme est irréductible pour tout entier naturel ?

Merci pour me donner des indications.

Réponses

  • ev
    ev
    Même pour $p=3$ ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Nounouvch
    Nounouvch
    Salut ! C'est quoi le critère d'Eisenstein?
  • Snair
    Snair
    ev
    Merci pour votre réponse. C'est vrai, $X^3+1$ est réductible sur $\mathbb Z$, car $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$. La critère d'Eisenstein n'est appliquable , car $p$ ne divise pas $1$. ( Elle est appliquable avec le polynome $X^p+p$ pas $X^p+1$; c'était ma faute).

    En utilisant la binôme de Newton, si $n$ est impair, alors $X^n+1$ est irréductible. Il reste donc les nombres pairs.

    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Snair écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1688988,1688988#msg-1688988
    [Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]

    Pourriez-vous m'expliquer en quoi consiste ce critère ?
  • gerard0
    gerard0
    Taper "critère d'Eiseinstein" sur un moteur de recherche.
  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour et salut e.v.


    > Nounouvch Si tu commençais par ça? critère d'Einsenstein
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Magnolia
    D'accord je m'y met merci !

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Math Coss
    Math Coss
    Snair écrivait:
    > En utilisant la binôme de Newton, si $n$ est impair, alors $X^n+1$ est irréductible.

    Cela aurait pu être : « en utilisant le binôme de Newton, si $n$ est impair, alors $X^n+1$ est réductible » mais non, le binôme de Newton parle de $(X+1)^n$ et pas de $X^n-(-1)^n$.
  • ev
    ev
    J'ai oublié de te souhaiter la bienvenue.

    " Il reste donc les nombres pairs".

    Que penses-tu de \( X^6+1 \) ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Snair
    Snair
    Math Coss

    :-) Oui. C'est ce que je voulais dire. Merci pour votre réponse.
  • Snair
    Snair
    $X^6+1=Y^3+1$ où $Y=X^2$. Donc on peut généraliser, si $n=2k$ avec $k$ est impair $(k\ne 1)$, alors $X^n+1$ est réductible. Est-ce correct ?
    Si oui, il reste les entiers $n$ sous la forme $n=2^m$.
  • Poirot
    Poirot
    Comme te l'a fait remarquer Math Coss, il n'y a pas de binôme de Newton dans cette histoire... En tout cas on remarque facilement que $-1$ est racine de ton polynôme dès que $n$ est impair, il est donc divisible par $X+1$ (dans $\mathbb Z[X]$) et n'est pas irréductible (sauf si $n=1$...).
  • ev
    ev
    @ Snair ,

    Correct.

    @ Magnolia,

    Salut à toi.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • moduloP
    moduloP
    Pour $2^n$, c'est un polynôme cyclotomique donc irréductible.
  • Snair
    Snair
    @moduloP
    Merci pour votre réponse utile. Si $\phi_n$ désigne le $n$-ième polynôme cyclotomique, alors on a : $\phi_{2^{m+1}}(X)=X^{2^m}+1$, c'est un polynôme irréductible sur $\mathbb Q$.

    Donc, peut-on conclure :
    $X^n+1$ est irréductible sur $\mathbb Z$ ssi $n=2^m$ avec $m\in\mathbb N^\ast$ ?
  • ev
    ev
    Peut-être pas $m=0$.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Snair
    Snair
    @ e.v

    Merci. J'ai modifié mon dernier message.
  • Blueberry
    Blueberry
    Je ne comprends pas où est le problème, pour $m=0$, $X^{2^m}-1$ est encore irréductible.
    Sympa cet exercice en tout cas.
  • ev
    ev
    Bonne remarque Blueberry. J'erre.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Ritchie
    Ritchie
    Bonjour,

    Une petite remarque, après la bataille : on peut appliquer le critère d'Eisenstein à $P(X+1)$ si $P$ est de la forme $P=X^{2^m}+1$.

    Bien cordialement,

    Ritchie
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