Salut ! Je ne comprends pas la définition d'un orbite d'un élément x selon la permutation (petit sigma) ainsi que si un élément faisait partie de l'orbite de x, l'orbite de y serait égal à celui de x. Merci
Essaie d'être plus précis quand tu poses une question. Telle que tu l'as formulée, elle ne veut rien dire.
Est-ce que la question est : "Pourquoi le nombre de permutations circulaires de $n$ éléments (cycle de longueur $n$) est-il $(n-1)!$ ?"
Autrement dit, on compte le nombre de façons dont on peut faire une ronde avec $n$ personnes.
On peut compter ainsi : on distingue une personne parmi les $n$. On regarde la façon dont sont disposées dans la ronde les $n-1$ autres personnes, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la personne distinguée ...
$(123)$ est une permutation circulaire au sens de la définition de Wikipedia. (l'élément $4$ est laissé invariant)
$4$ n'est pas dans la même orbite que $1$ par exemple sous cette permutation.
Pardon du travail inutile fait par la modération.
PS: on me signale que ma dernière phrase est étrange.
Initialement j'avais posté un message qui m'a semblé débile après coup. Je l'ai annulé en quelque sorte.
Mais je me suis rendu compte qu'il n'était pas si débile que ça, tout au moins à mon humble avis.
Je voulais m'excuser pour le travail que j'ai occasionné à la modération. J'aurais pu corriger mon message si j'avais écris moins vite rendant inutile l'intervention de la modération.
@FdP : ça n'a aucun rapport avec la question posée, et l'exemple que tu donnes n'est pas une permutation circulaire de $E$. Pourquoi pollues-tu ?
@Nounouvch : Il n'y a aucun besoin de logiciel adapté. Et tu peux écrire en français courant, sans caractères spéciaux. Si tu as besoin d'un exposant ou d'un indice, tu as le bouton ad hoc dans la fenêtre d'écriture. Par exemple :
une permutation s appartenant à SE
L'orbite de x selon la permutation S est l'ensemble O(x)= {S^k(x); k élément de Z}. Je n'arrive pas à saisir cette définition.
Si y est un élément de O(x), alors O(x)=O(y). Pourquoi donc ?
Je n'ai pas compris ton objection désolé. Wikipedia considère une définition plus large de la notion de permutation circulaire et cette définition n'est pas compatible avec la définition 26-4.
Je n'avais pas l'impression de polluer seulement de faire remarquer que la définition d'une permutation circulaire donnée n'est pas nécessairement standard. Toujours cette amabilité qui te caractérise je suppose.
Et alors ? C'est un cycle, ce n'est pas une permutation circulaire de $\{p,q,r,s,t,u\}$.
Je le répète : la question posée concernait la définition d'orbite.
S'il vous plaît pour la décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints.
La permutation en question est :
S = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 1 2 4 6 7 5 8 3 )
J'ai compris la décomposition en cycle c1= (1 10 3) et c2=(2 9 8 5 4 ) mais je ne comprends pas la méthode utilisée pour calculer les puissances de la permutation ? On a introduit un k puis un l qui représente la taille du cycle c, puis que c^l = Id et que c^k=c^p où p est le reste de la division de k par l ?
Merci.
Pour calculer la puissance d'une permutation; on utilise son ordre. L'ordre d'une permutation $\sigma$ est le plus petit entier naturel non nul $k$ tel que $\sigma^k=Id$. Si $c$ est un $p$-cycle, alors son ordre est $p$. Si $\sigma=c_1c_2$ avec $c_1$ et $c_2$ sont deux cycles de supports disjoints, alors $|\sigma|=\mathrm{ppcm}(|c_1|,|c_2|)$.
Si $|\sigma|=m$ et on veut déterminer $\sigma^k$, on a $k=qm+r$ avec $0\le r<m$, et donc $\sigma^m=\sigma^r$.
Salut! Merci pour votre réponse mais je ne comprends pas l'interprétation de S^k=Id? Si je prends une permutation quelconque comment elle sera représentée? Merci
Tu semblais avoir compris ce qu'est $S^k$ : la permutation composée $S\circ S\circ\cdots\circ S$, $k$ fois. C'est une permutation. $S^k=\mathrm{Id}$ dit que cette permutation est égale à l'identité (elle ne bouge rien). Je ne vois pas quelle "difficulté d'interprétation" tu peux rencontrer.
Pardon de déranger mais je voulais la décomposer par transposition et je n'y arrive pas :
En notant T la transposition :
S=T23.T12.T13=T12 ( je ne vois pas pourquoi) tous les I n'appartenant pas à {1,2 3} sont invariants.. Comment on A fait pour calculer S(1), S(2) et S(3)?
Merci
Réponses
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Est-ce que la question est : "Pourquoi le nombre de permutations circulaires de $n$ éléments (cycle de longueur $n$) est-il $(n-1)!$ ?"
Autrement dit, on compte le nombre de façons dont on peut faire une ronde avec $n$ personnes.
On peut compter ainsi : on distingue une personne parmi les $n$. On regarde la façon dont sont disposées dans la ronde les $n-1$ autres personnes, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la personne distinguée ...
Il me semble que si $E=\{1;2;3;4\}$
$(123)$ est une permutation circulaire au sens de la définition de Wikipedia. (l'élément $4$ est laissé invariant)
$4$ n'est pas dans la même orbite que $1$ par exemple sous cette permutation.
Pardon du travail inutile fait par la modération.
PS: on me signale que ma dernière phrase est étrange.
Initialement j'avais posté un message qui m'a semblé débile après coup. Je l'ai annulé en quelque sorte.
Mais je me suis rendu compte qu'il n'était pas si débile que ça, tout au moins à mon humble avis.
Je voulais m'excuser pour le travail que j'ai occasionné à la modération. J'aurais pu corriger mon message si j'avais écris moins vite rendant inutile l'intervention de la modération.
@Nounouvch : Il n'y a aucun besoin de logiciel adapté. Et tu peux écrire en français courant, sans caractères spéciaux. Si tu as besoin d'un exposant ou d'un indice, tu as le bouton ad hoc dans la fenêtre d'écriture. Par exemple :
une permutation s appartenant à SE
Si y est un élément de O(x), alors O(x)=O(y). Pourquoi donc ?
Je n'ai pas compris ton objection désolé. Wikipedia considère une définition plus large de la notion de permutation circulaire et cette définition n'est pas compatible avec la définition 26-4.
Je n'avais pas l'impression de polluer seulement de faire remarquer que la définition d'une permutation circulaire donnée n'est pas nécessairement standard. Toujours cette amabilité qui te caractérise je suppose.
Si $S=\pmatrix{ 1&2&3&4&5&6\\ 2&5&4&3&1&6}$ qu'est-ce que $S(1)$ ? $S^2(1)$ ? $S^3(1)$ ? $S^{-1}(1)$ ? $S^{-2}(1)$ ?
Fin de partie: merci pour l'article ^^
Je le répète : la question posée concernait la définition d'orbite.
La permutation en question est : J'ai compris la décomposition en cycle c1= (1 10 3) et c2=(2 9 8 5 4 ) mais je ne comprends pas la méthode utilisée pour calculer les puissances de la permutation ? On a introduit un k puis un l qui représente la taille du cycle c, puis que c^l = Id et que c^k=c^p où p est le reste de la division de k par l ?
Merci.
Pour calculer la puissance d'une permutation; on utilise son ordre. L'ordre d'une permutation $\sigma$ est le plus petit entier naturel non nul $k$ tel que $\sigma^k=Id$. Si $c$ est un $p$-cycle, alors son ordre est $p$. Si $\sigma=c_1c_2$ avec $c_1$ et $c_2$ sont deux cycles de supports disjoints, alors $|\sigma|=\mathrm{ppcm}(|c_1|,|c_2|)$.
Si $|\sigma|=m$ et on veut déterminer $\sigma^k$, on a $k=qm+r$ avec $0\le r<m$, et donc $\sigma^m=\sigma^r$.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Sur cet exemple on a S^11= c1^11 c2^11 = c1^2 c2. Pourquoi donc ?
En notant T la transposition :
S=T23.T12.T13=T12 ( je ne vois pas pourquoi) tous les I n'appartenant pas à {1,2 3} sont invariants.. Comment on A fait pour calculer S(1), S(2) et S(3)?
Merci