Liberté pour les vecteurs propres!

Pourquoi les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes forment-ils un système libre?

J'ai l'impression que ça doit être évident, mais ça ne me semble pas évident.

Plus précisément, je suppose que $E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, que $\phi$ est un endomorphisme de $E$, que $\lambda_1, \ldots \lambda_k$ sont $k \in \N$ valeurs propres distinctes de $\phi$, et $\vec v_1, \ldots \vec v_k$ des vecteurs propres correspondants ($\forall i, \phi(\vec v_i) = \lambda_i \vec v_i$ avec $\vec v_i \neq \vec 0$).

Je veux montrer que $(\vec v_1, \ldots \vec v_k)$ est un système libre.

En fait, j'ai trouvé une façon compliquée de le montrer, mais je cherche une façon simple.

Ma façon compliquée, c'est de poser $\alpha_1 \vec v_1 + \ldots \alpha_k \vec v_k = \vec 0$, et d'appliquer $\phi$ à cette égalité de manière répétée, jusqu'à $k - 1$ fois. J'obtiens $k$ égalités de la forme ${\lambda_1}^p \alpha_1 \vec v_1 + \ldots {\lambda_k}^p \alpha_k \vec v_k = \vec 0$ avec $p = 0, 1, \ldots k-1$. La résolution de ce système linéaire fait intervertir la matrice

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \ldots & \lambda_k \\
\ldots \\
{\lambda_1}^{k-1} & {\lambda_2}^{k-1} & \ldots & {\lambda_k}^{k-1}
\end{pmatrix}$$

qui est connue (matrice de Vandermonde), et dont on montre, de façon compliquée, qu'elle est inversible sachant que les $\lambda_i$ sont distincts.

Au total, on trouve bien que tous les $\alpha_i$ doivent être nuls.

Mais ça me semble vraiment compliqué pour ce résultat. Comment faire plus simple?