Transposition

Nounouvch
Nounouvch
dans Algèbre
Pardon de déranger mais je voulais la décomposer par transposition et je n'y arrive pas :
En notant T la transposition :
S=T23.T12.T13=T12 ( je ne vois pas pourquoi) tous les I n'appartenant pas à {1,2 3} sont invariants.. Comment on A fait pour calculer S(1), S(2) et S(3)?
Merci
La permutation est
S=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 1 2 4 6 7 5 8 3 )

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ta question est incompréhensible : il y a deux $S$ qui n'ont rien à voir.
    Quant à la composée de transpositions, $(2,3)(1,2)(1,3)$ on regarde ce que deviennent les éléments en lisant de droite à gauche : $1$ devient $3$ par $(1,3)$, qui ne bouge pas dans $(1,2)$ puis qui devient $2$ par $(2,3)$. Moralité : l'image de $1$ par la permutation $(2,3)(1,2)(1,3)$ est $2$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    3 devient 1 par (1,3) qui devient 2 par (1,2) qui devient 3 par (2,3)?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Essaie de poser des questions compréhensibles, s'il te plaît. Applique-toi !

    Edit : message précédent modifié.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Nounouvch écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1689632,1689648#msg-1689648
    Est-ce juste ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    À toi de décider.
  • Snair
    Snair
    @Nounouvch
    Quelle est ta question explicitement ? As-tu une permutation et la question est la décomposer en un produit de transpositions ? Dans ce cas, on commence par la décomposition en un produit de cycles du supports disjoints, puis chaque cycle sera décomposer en des transposition.

    Par exemple, si on a le cycle $c=(1576)$ alors on a : $c=(15)(57)(76)$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La décomposition en produit de cycles disjoints n'est pas le seul moyen, ni forcément le moyen le plus commode d'arriver à une décomposition en produit de transpositions.
    On peut aussi y aller franco : si $\sigma(1)\neq 1$, on transpose $1$ et $\sigma(1)$. Ensuite on s'occupe de $2$, etc.

    Exemple
    $$\begin{array}{cccccccccc}
    1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    10& & & & & & & & &1\\
    &9& & & & & & &2& \\
    & &1& & & & & & &3\\
    & & &2& & & & &4& \\
    & & & &4& & & &5& \\
    & & & & & & &5&8&
    \end{array}$$
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Oui j'ai saisi.. par ailleurs j'ai une nouvelle question:
    La question est de réaliser le tableau l'inversion d'une permutation de taille 8 ainsi que de calculer sa signature, j'ai beau avoir lu la définition et l'exemple qui va avec je j'ai rien compris.. Merci de m'expliquer.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    réaliser le tableau l'inversion d'une permutation de taille 8
    Qu'est-ce que ça veut dire ?
  • Nounouvch
    Nounouvch
    GaBuZoMeu
    Comment peut on calculer la signature de cette permutation: 
                 1 2 3 4 5 6 7
             3 5 7 2 1 4 6
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Une méthode est de décomposer cette permutation en produit de transpositions. La signature a à voir avec la parité du nombre de transpositions que comporte une telle décomposition.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Fin de partie
    Et pour la méthode qui consiste à réaliser le nombre d'inversion de la permutation, on procède comment ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Plusieurs moyens possibles
    1) décomposer en produit de cycles disjoints
    2) décomposer en produit de transpositions
    3) Compter les inversions
    Exemple moyen 3 :
    $$\begin{array}{ccccccc|c}
    3&5&7&2&\color{\red}{1}&4&6 & 4\\
    3&5&7&\color{\red}2& &4&6 & 3\\
    \color{\red}3&5&7& & &4&6 & 0\\
    &5&7& & &\color{\red}4&6 & 2\\
    &\color{\red}5&7& & & &6 & 0\\
    & &7& & & &\color{\red}6 & 1\\
    \end{array}$$
    10 inversions, permutation paire.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    GaBuZoMeu
    C'est bien la méthode que je demande,mais d'ici elle semble plus difficile à manier.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bah j'ai raconté cette histoire à des élèves de 3e et ça passait plutôt bien. Il y a quelque chose que tu ne comprends pas ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je n'ai pas compris la question.

    On peut aussi calculer la signature d'une permutation en la décomposant en cycles disjoints.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Fin de partie : J'ai essayé avec cette méthode ainsi que la décomposition en transpositions et cela marchait merci mais c'est avec méthode des inversions que je souhaite réaliser la manoeuvre.
    GaBuZoMeu: vous venez de le dire vous l'avez raconté oralement c'est très différent comparé à laisser une explication par commentaire.Oui, cela peur être est facile mais je n'arrive pas à la saisir tout de même, alors si c'est possible je voudrais savoir les principaux étapes pour la réaliser sinon j'aurai plus de mal quand je passerai à l'expression algébrique de la signature. Merci
  • Nounouvch
    Nounouvch
    (i,j) de 1,n^2 est une inversion de S lorsque i<j et S(i)>S(j). Qu'est ce que ceci signifie?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu remarqueras que la première ligne du tableau (avant la barre verticale) est la permutation à analyser ; le 4 après la barre est le nombre d'éléments qui figurent avant le 1 (en rouge) *. En deuxième ligne, j'ai enlevé le 1 et je m'intéresse au 2 ; le 3 après la barre est le nombre d'éléments avant le 2, etc.
    Le nombre d'inversions est 4+3+0+2+0+1.

    * Autrement dit, le nombre de couples $(1,j)$ avec $j>1$ tels que $\sigma(j)<\sigma(1)$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Oui c'est bon !! Merci beaucoup
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