Toute matrice inversible est de passage

Gauss_wh · August 2018

Bonjour,

J'essaie de montrer la proposition suivante : soit $E$ un $\mathbf K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $P\in\text{GL}_n(\mathbf K)$.
1) $\forall\mathcal B$ base de $E,\exists\mathcal C$ base de $E$ telle que $P=P_{\mathcal B}^{\mathcal C}$
2) $\forall\mathcal C$ base de $E,\exists\mathcal B$ base de $E$ telle que $P=P_{\mathcal B}^{\mathcal C}$

1) Voilà comment j'ai commencé. On note $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ et $P=(p_{i,j})$. J'ai pensé poser $\mathcal C=(f_1,\dots,f_n)$ où, pour tout $j\in[\![1,n]\!], f_j=\sum_{i=1}^n p_{i,j}e_i$. Il me reste à justifier que $\mathcal C$ est une base de $E$ (donc une famille libre car il y a $n$ éléments), ce que je ne parviens pas à faire. J'imagine qu'il y a un argument simple permettant d'éviter de faire (ce qu'au passage je n'ai pas réussi) : $(\sum \lambda_j f_j=0\implies\lambda_j=0)$, mais je ne trouve pas. En fait, je pense deviner quel argument utiliser mais je ne sais pas comment. Je sais que l'image d'une famille libre par une application linéaire injective est encore libre. Or pour appliquer ça ici la correspondance application linéaire / matrice me pose problème :
- la famille libre est bien $\mathcal B$ ;
- mais l'application linéaire injective (d'ailleurs j'imagine qu'elle est même inversible à cause de l'inversibilité de $P$ !) ?

Colas · August 2018

Interprète $\sum \lambda_j f_j = 0$ via un produit matriciel.

gebrane · August 2018

Peut être plus simple. On note f l'application linéaire associée à P, f est bijective de $E\to E$et on sait que l'image d'une base B de E par une application ( edit linéaire) bijective est une base B' de E ainsi P est une matrice de passage

GaBuZoMeu · August 2018

l'image d'une base B de E par une application bijective est une base B' de E

Faux tel quel. Il faut ajouter un mot pour que ça devienne vrai.

gebrane · August 2018

oubli corrigé mais je sais dans un examen un oubli coûte cher:-D

Gauss_wh · August 2018

@Colas : je veux bien plus de précisions car je n'y arrive pas :

$\sum_j \lambda_j f_j=\sum_j \lambda_j \sum_i p_{i,j} e_i=\sum_i(\sum_j \lambda_j p_{i,j})e_i$

Donc si $\sum_j \lambda_j f_j=0$ alors pour tout $i, \sum_j \lambda_j p_{i,j}=0$

Mais ensuite...

GaBuZoMeu · August 2018

Le plus simple est d'utiliser la matrice inverse de $P$ pour montrer que les $e_i$ sont des combinaisons linéaires des $f_j$.

Gauss_wh · August 2018

Hum, à partir de quel endroit dois-je faire ce raisonnement :-S

Gauss_wh · August 2018

Bon, si quelqu'un a une preuve, je suis preneur. Je ne l'ai pas précisé mais j'aimerais si possible uniquement utiliser le fait qu'une matrice de passage est la matrice de l'identité entre deux bases (donc est inversible avec la formule de composition) et que l'inverse d'une matrice de passage est encore une matrice de passage (on inverse les deux bases).

Gauss_wh · August 2018

Bon, finalement, je me contente de la solution de gebrane.

Gauss_wh · August 2018

En fait, quelque chose cloche dans la solution de gebrane, enfin c'est ce que je pense. On a une base $\mathcal B$ fixée de $E$ et une matrice inversible $P$ fixée. Quand tu parles de l'application linéaire $f$ associée à $P$, c'est par rapport à quelles bases ? Pour rappel, l'objectif est de construire une base $\mathcal C$ à l'aide de $P$ et $\mathcal B$. On ne peut donc pas écrire ou parler de $\text{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(f)$ sans avoir montré que $\mathcal C$ est une base.

Dîtes-moi si je raconte n'importe quoi.

gebrane · August 2018

Tu ne comprends pas! encore plus simple

Soit B la base canonique de $M_{n,1}(\K)$. La matrice P étant inversible donc la famille $B'=(C_1,....C_n)$ des colonnes de P forme une base de $M_{n,1}(\K)$. La matrice P n'est autre que la matrice de la base B' dans la base B ( c'est à dire la matrice de passage de B à B')

edit Je me rends compte que je ne réponds pas à ta question car j'ai démontré seulement qu'une matrice inversible est en fait une matrice de passage entre deux bases. Mais toi tu voulais qu'elle soit une matrice de passage entre deux bases de ton e.v E

GaBuZoMeu · August 2018

Puisqu'il faut tout dire.
Soit $P=(p_{i,j})$ une matrice inversible d'inverse $P^{-1}=(q_{j,k})$. Soit $\mathcal B=(e_i)$ une base de $E$.
On pose $f_j=\sum_i p_{i,j}e_i$ pour $j=1,\ldots,n$. Alors $\mathcal C=(f_j)$ est bien une base de $E$ car $e_k=\sum_j q_{j,k}f_j$ pour $k=1,\ldots,n$ (vérification immédiate).

Colas · August 2018

L’idée c’est de faire apparaître P fois le vecteur colonne des lambda_i

Gauss_wh · August 2018

Exactement gebrane !

Merci GaBuZoMeu. Je comprends que $e_k=\sum_j q_{j,k}f_j$ pour $k=1,\dots,n$ entraîne que $\mathcal C$ est une base de $E$ car $\mathcal C$ est alors une famille génératrice de $E$ et elle compte $n$ éléments. Par contre, juste un mini-truc : sans appliquer la formule de changement de base pour les vecteurs (qui arrive plus tard dans le cours), comment "vérifier" que $e_k=\sum_j q_{j,k}f_j$ pour $k=1,\dots,n$ ?