Présence d’un élément

$\sqrt{15} \notin \Q$.

e.v.

Oui, je peux le faire.

Mais est-ce bien à moi de rédiger un exercice de trois lignes, une fois que le résultat somme toute bénin que j'ai annoncé plus haut, est admis ?

Mmmmh ?

e.v.

ev : pour montrer que $\sqrt{2}$ n'est ni dans $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$, ni dans $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$, je n'ai aucun problème, j'ai fait ce genre d'exercice suffisamment de fois. Cependant, avec $\mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})$ je trouve que c'est un peu plus tordu.

J'essaie de faire comme j'ai l'habitude : Déjà, je suppose connu que $\mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})$ = $\mathbb{Q}(\sqrt{6} + \sqrt{10})$. Si je devais montrer que $\sqrt{a} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{b})$, je procèderais par l'absurde, j'écrirais $\sqrt{a} = x + y \sqrt{b}$, je mettrais tout au carré et je finirais par aboutir à la contradiction $\sqrt{b} \in Q$ (on suppose ça faux au départ, bien entendu). Donc là je voudrais essayer d'appliquer la même logique, mais $\mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})$ c'est pas le même type de bestiole pour moi, on m'a à peine appris à travailler avec. Déjà, une $\mathbb{Q}$-base de $\mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})$ est $(1, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{15})$. Donc j'essaie d'écrire :

$\sqrt{2} = t + x \sqrt{6} + y \sqrt{10} + z \sqrt{15}$.
Donc $2 = t^2 + 6x^2 + 10y^2 + 15z^2 + 2tx \sqrt{6} + 2 ty \sqrt{10} + 2 tz \sqrt{15} + 4xy \sqrt{15} + 6xz \sqrt{10} + 10yz \sqrt{6}$
$= t^2 + 6x^2 + 10y^2 + 15z^2 + (2tx + 10yz) \sqrt{6} + (2ty + 6xz) \sqrt{10} + (2tz + 4xy) \sqrt{15}$.
Et là à ce stade je fais comment pour avoir ma contradiction ?

La question sous-jacente que je n'arrive pas à résoudre c'est : si $\sqrt{a} \notin \mathbb{Q}$ et si $\sqrt{b} \notin \mathbb{Q}$, montrer que $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \notin \mathbb{Q}$. Et j'ai essayé, hein. Si je dis que je n'y arrive pas, c'est que j'ai essayé et que je n'y arrive quand même pas. Le fait que tu aies débarqué ici, écrit "$\sqrt{15} \notin \mathbb{Q}$" et que tu soies reparti aussi sec me laisse penser que cette question que je viens de poser est la clé pour répondre facilement au problème, mais je bloque dessus.

Un autre truc qui me pose problème c'est justement l'égalité $\mathbb{Q}(\sqrt{6}, \sqrt{10})$ = $\mathbb{Q}(\sqrt{6} + \sqrt{10})$. Comme j'ai fait avec mon $\sqrt{a} = x + y \sqrt{b}$ juste au-dessus, l'idée que j'ai en tête d'une extension du type $\mathbb{Q}( \omega)$ c'est que tout élément s'écrit donc de manière unique dans la base $(1, \omega)$, donc dans notre cas présent, on aurait $\sqrt{2} = x + y(\sqrt{6} + \sqrt{10})$ et non seulement le $\sqrt{15}$ disparaît (pour l'instant, il revient dès qu'on élève au carré bien sûr) mais j'ai beaucoup moins de constantes à gérer. Mais du coup, est-ce que ça veut dire que chaque combinaison du type $t + x \sqrt{6} + y \sqrt{10} + z \sqrt{15}$ peut se réécrire comme $u + v(\sqrt{6} + \sqrt{10})$ ??? je ne suis pas sûr de comprendre ce qu'il se passe ici.

ev : tu as le droit d'admettre que parfois les gens ont des difficultés que tu n'as peut-être jamais eues et qu'on n'a peut-être pas appris tout ce que tu sais :-D . J'ai eu un cours sur les extensions de corps et la théorie de Galois en Master, fait par un prof dont c'était la spécialité, j'ai relu tout mon *** de cours et relu tous les sujets et corrigés d'exercices, j'ai fouillé mon unique livre sur la théorie et je n'ai pas trouvé la réponse à mes questions. Soit c'est hyper évident et j'ai une difficulté que personne d'autre n'a, soit c'est pas évident du tout. Dans les deux cas, je suis en droit de poser la question ici !

ev,

Merci pour la correction de la coquille, c'est effectivement ce que je voulais écrire.

J'attendrai également la réponse de l'initiateur du fil avant d'en dire un peu plus : je suis d'accord que c'est facile si on sait certaines choses, mais les sait-il ?

Merci ! :-)

J'étais tombé sur des systèmes $2 \times 2$ en cherchant, mais je n'avais pas pensé à utiliser la règle de Cramer pour aboutir à l'absurdité. (d'ailleurs tu as fait une faute de frappe/d'inattention : après "contradiction" tu conclus que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ est irrationnel)

Les deux méthodes sont astucieuses !